Question

РЕШИТЕ ЗАДАНИЕ!!МНОГО БАЛЛОВ!!ДА ЕЩЕ И ПОДСКАЗКА БОЛЬШАЯ ЕСТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ!!!! Само задание:Клетчатая доска 9×9 покрашена в шахматную раскраску (то есть доска покрашена в чёрный и белый цвета; любые две клетки, соседние постороне, имеют разный цвет). Требуется поставить 8 белых ладей так,чтобы все они стояли на клетках одного цвета и никакие две из нихне били друг друга (одна ладья бьёт другую, если она стоит с ней водной вертикали или горизонтали). Сколькими способами это можносделать? Расстановки, отличающиеся друг от друга поворотами, симметриями и пр. считаются различнымиПодсказка для него:Пусть угловые клетки - белые.1) Ладьи на белых клетках.Удаляем одну из 9 горизонталей, где ладьи не будет. Поскольку горизонтали различаются, выделим два случая, в зависимости от первой клетки горизонтали: а) белая, б) чёрная.Далее проходим по белым горизонталям, выбирая место для ладей: на первой из белых горизонталей - 5 мест, затем - 4 места и т. д. Аналогично поступаем с чёрными горизонталями.2) Ладьи на чёрных клетках.Аналогично. Частично можно свести к предыдущему пункту.Пробовал решать :Для первой ладьи - 8 вариантов, для второй - 7 вариантов и т. д. В итоге 8!Еще раз пересчитал. Число расстановок 8-ми ладей на одноцветных полях равно 9*5!*4!+5*5!*4!=14*5!*4!=8!(первое слагаемое отвечает за цвет, совпадающий с цветом угловых клеток, второе - за другой цвет)Потом у меня получилось посчитать это по-другому: 9 способов убрать 1 лишнюю горизонталь * 9 способов убрать лишнюю вертикаль (т.к. ладей 8, то на поле 9*9 всегда такие лишние найдутся) * кол-во способов расставить их по чёрным и по белым клеткам (т.е. 4! + 4!), получим 9*9 * (4! + 4!) = 3888 способов.Позже исправил : 9*9 * (4!*4! + 4!*4!) = 93 312(по белым на поле 8*8 кол-во способов 4! * 4! + аналогично для чёрных)Я уже запутался со всем этими расчетами , помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

40320

Пошаговое объяснение:

У меня угловые клетки черные, это, конечно, ни на что не влияет. Рассматриваем два варианта - на черных клетках стоят ладьи или на белых. Потом результаты сложим и получим ответ.

1. Белые клетки

Если внимательно посмотреть на доску, белые клетки делятся на две независимые (с точки зрения хода ладьи) группы, помеченные у меня цифрами 3 и 4. Я перерисую их отдельно, получатся прямоугольники 4x5 и 5x4. Поскольку в каждый прямоугольник можно поставить не более четырех не бьющих друг друга ладей (в первом случае есть только 4 столбца, во втором - 4 строки), то в каждый прямоугольник нужно поставить ровно 4 ладьи, притом, очевидно, количество допустимых расстановок в прямоугольнике 4x5 и 5x4 совпадает.

Считаем количество расстановок в прямоугольнике 4x5. В первую горизонталь можно поставить ладью пятью способами, во вторую четырьмя, в третью тремя, во вторую двумя. Всего способов расставить 4 не бьющие друг друга ладьи в прямоугольник 4x5 оказывается $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$.

Во второй белый прямоугольник можно расставить 4 не бьющие друг друга ладьи тоже 120 способами, расстановки выбираются независимо, так что всего способов расставить ладьи на белые клетки $120^2=14400$.

2. Чёрные клетки

Аналогично, есть два независимых квадрата 4x4 и 5x5. Тут есть две возможности: на большой квадрат поставить 5 ладей, на маленький 3; на большой 4, на маленький 4.

1) 5 + 3: в большой квадрат ладьи расставляются 5! = 120 способами.

Если в маленьком не ставить ладью на четвёртую горизонталь, будет 4! = 24 способов, а ту горизонталь, на которую будем не ставить ладью, можно выбрать 4 способами. Тогда на маленький квадрат есть $4\cdot24=96$ расстановок.

Всего для этой возможности есть $120\cdot96=11520$ вариантов.

2) 4 + 4: в маленький квадрат 4! = 24 способа, в большой $5\cdot5!=600$ способов.

Итого здесь $24\cdot600=14400$ вариантов.

Всего способов расставить ладьи на чёрные клетки, таким образом,

$11520+14400=25920$

Заметим, что это число можно было получить по-другому. 9 ладей можно поставить на эти квадраты $4!\cdot 5!=2880$ способами, а потом, убирая каждую из 9 ладей, получаем те же $9\cdot4!\cdot5!=25920$ вариантов.

Answer 2

Давайте разберемся вместе.

Задача состоит в том, чтобы расставить 8 белых ладей на клетках одного цвета таким образом, чтобы они не били друг друга.

Одна из подсказок указывает, что угловые клетки доски должны быть белыми. Это означает, что у нас есть 4 белых угловых клетки и 5 черных угловых клеток.

Мы можем решить задачу, разделив ее на два случая:

1. Ладьи на белых клетках: a) Убираем одну из 9 горизонталей, на которой не будет ладьи. Первая клетка этой горизонтали может быть как белой, так и черной. b) Расставляем ладьи на оставшихся 8 горизонталях. На первой из них мы выбираем место для ладьи из 5 белых клеток, на второй - из 4 белых клеток, и т.д. Поэтому число способов расстановки ладей на белых клетках будет равно: 9 * 5! * 4! + 9 * 5! * 4!

2. Ладьи на черных клетках: Мы можем решить этот случай аналогично первому случаю, используя оставшиеся 5 черных горизонталей. Число способов расстановки ладей на черных клетках будет равно: 5 * 5! * 4! + 5 * 5! * 4!

Теперь мы можем сложить результаты двух случаев, чтобы получить общее количество способов расстановки ладей: 9 * 5! * 4! + 9 * 5! * 4! + 5 * 5! * 4! + 5 * 5! * 4! = (9 + 9 + 5 + 5) * 5! * 4! = 28 * 5! * 4!

Вычислим это выражение: 28 * 5! * 4! = 28 * 120 * 24 = 80640.

Таким образом, общее количество способов расстановки 8 белых ладей на клетках одного цвета без возможности бить друг друга составляет 80640.