Question

Решите неравенство А) х(7-2х)>6 Б)5х-3-<2х+6

Answer 1

А)
$x(7 - 2x) > 6 \\ 7x - 2 {x}^{2} > 6 \\ 2 {x}^{2} - 7x + 6 < 0 \\ D = b {}^{2} - 4ac \\ D = ( - 7) {}^{2} - 4 \times 2 \times 6 \\ D = 49 - 48 = 1 \\ x_{1.2} = \frac{ - b + \sqrt{D} }{2a} \\ x_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2 \\ x_{2} = \frac{7 - 1}{4} = 1.5 \\ (x - 2)(x - 1.5) < 0$
Ответ: от минус бесконечности до 1.5 в объедении от 2 до плюс бесконечности


б)

$5x - 3 \leqslant 2x + 6 \\ 3x \leqslant 9 \\ x \leqslant 3$
Ответ: от минус бесконечности до 3


Ответ на фото

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и решим их. А) \(x(7-2x) > 6\) Для начала упростим это неравенство: \(7x - 2x^2 > 6\) Теперь перенесем все элементы на одну сторону и упорядочим их так, чтобы коэффициент при \(x^2\) был отрицательным: \(2x^2 - 7x + 6 < 0\) Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Мы можем воспользоваться методом интервалов. Сначала найдем корни уравнения: \(2x^2 - 7x + 6 = 0\) Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант (\(D\)) равен \(b^2 - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = -7\), и \(c = 6\). \(D = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1\) Дискриминант равен 1, что означает, что у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5\) Теперь у нас есть два корня, \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1.5\), которые делят число \(x\) на три интервала: 1. \(-\infty < x < 1.5\) 2. \(1.5 < x < 2\) 3. \(2 < x < +\infty\) Теперь давайте определим знак выражения \(2x^2 - 7x + 6\) на каждом из этих интервалов. Мы можем взять по одной точке в каждом интервале и проверить знак выражения: 1. Для интервала \(-\infty < x < 1.5\), возьмем \(x = 0\). Тогда \(2x^2 - 7x + 6 = 2(0)^2 - 7(0) + 6 = 6\), что положительно. 2. Для интервала \(1.5 < x < 2\), возьмем \(x = 1.75\). Тогда \(2x^2 - 7x + 6 = 2(1.75)^2 - 7(1.75) + 6 = -0.6875\), что отрицательно. 3. Для интервала \(2 < x < +\infty\), возьмем \(x = 3\). Тогда \(2x^2 - 7x + 6 = 2(3)^2 - 7(3) + 6 = 3\), что положительно. Исходя из этой информации, неравенство \(2x^2 - 7x + 6 < 0\) выполняется на интервале \(1.5 < x < 2\). Б) \(5x - 3 < 2x + 6\) Для начала упростим это неравенство, перенеся все элементы на одну сторону: \(5x - 2x < 6 + 3\) \(3x < 9\) Теперь разделим обе стороны на 3: \(x < 3\) Итак, решение данного неравенства - \(x < 3\). Итак, решения заданных неравенств: A) \(1.5 < x < 2\) Б) \(x < 3\)