Question

Решите неравенство ((5х-10)(2х-4))/((3х+9)(х^3-1))>=0

Answer 1

Вот решение, данное неравенство имеет единственное решение,это число 2

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, будем анализировать знаки каждого из множителей и дроби. Для удобства, разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель:
(5х-10)(2х-4) = 10 (х - 2)(х - 2) = 10 (х - 2)²

Знаменатель:
(3х + 9)(х³ - 1)
= 3(х + 3)(х - 1)(х² + х + 1)

Теперь, рассмотрим каждый из множителей отдельно:

1) (х - 2)²
Квадратный множитель будет больше или равен нулю для всех значений х, а именно: (х - 2)² ≥ 0. Таким образом, этот множитель не меняет знак неравенства.

2) (х + 3)
Этот множитель меняет знак неравенства при х = -3.

3) (х - 1)
Этот множитель меняет знак неравенства при х = 1.

4) (х² + х + 1)
Этот множитель не меняет знак неравенства, так как является квадратным трехчленом без корней.

Теперь объединим полученные результаты и рассмотрим все возможные случаи:

1) Множитель (х - 2)² ≥ 0 не меняет знак неравенства.

2) Множители (х + 3) и (х - 1) меняют знак неравенства в точках х = -3 и х = 1 соответственно.

Получаем следующую таблицу знаков для исходного неравенства:

-∞ -3 1 2 +∞
(х - 2)² + + + +
(х + 3) - - - -
(х - 1) - + + +
(х² + х + 1) + + + +

Теперь, сделаем вывод:

- Неравенство имеет значение 0 в точках х = -3, 1, и 2. Эти точки образуют критические значения.

- Неравенство принимает положительные значения на интервалах (-∞, -3) и (1, 2), так как имеет знак "+" в этих интервалах.

- Неравенство принимает отрицательные значения на интервалах (-3, 1) и (2, +∞), так как имеет знак "-" в этих интервалах.

Таким образом, решение данного неравенства будет:

х ∈ (-∞, -3] U (1, 2]