Question

19. Найдите диапазон значений функции y = 4cos^3 (2x) + sin^2 (2x).

Answer 1

$y=4\cos^32x+\sin^22x=4\cos^32x-\cos^22x+1$

Пусть $\cos2x=t$, причем $|t|\leq 1$. Получаем $y(t)=4t^3-t^2+1$. Исследуем функцию на экстремум.

$y'(t)=12t^2-2t=0$

$2t(6t-1)=0$

$t_1=0$

$t_2=\dfrac{1}{6}$

Найдем наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка

y(-1) = -4 — наименьшее

y(0) = 1

y(1/6) = 107/108

y(1) = 4 — наибольшее

Т.е. функция достигает наименьшего значения при cos 2x = -1, а при cos 2x = 1 — наибольшее значение. Откуда область значений функции E(y) = [-4;4]

Answer 2

Для нахождения диапазона значений функции y = 4cos^3(2x) + sin^2(2x), мы должны рассмотреть возможные значения косинуса и синуса. Косинус может принимать значения от -1 до 1, поэтому выражение 4cos^3(2x) может принимать значения от -4 до 4. Синус также может принимать значения от -1 до 1, поэтому выражение sin^2(2x) может принимать значения от 0 до 1. Таким образом, сумма этих двух выражений может принимать значения от -4 до 5. Итак, диапазон значений функции y = 4cos^3(2x) + sin^2(2x) составляет от -4 до 5.