Question

Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям y′ − y cos x = e^sin x ; y (0)= 1.

Answer 1

Ответ:

y = (x+1) e^sin x

Пошаговое объяснение:

y′ − y cos x = e^sin x

обе части делим на e^sin x

y′ /e^sin x  − y cos x /e^sin x  = 1

в левой части дифференциал  произведения

d( y /e^sin x )/dx = y′ /e^sin x  − y cos x /e^sin x

тогда

d( y /e^sin x )/dx  = 1

d( y /e^sin x )  = dx

интегрируем

∫ d( y /e^sin x )  = ∫ dx

y /e^sin x   = x +C

y = (x+C) e^sin x - общее решение

подставляем начальные условия и находим С

y (0)= 1

1 = (0+C) e^sin 0

C = 1

подставляем С в общее решение

y = (x+1) e^sin x

Answer 2

Для решения этого дифференциального уравнения, сначала нужно найти общее решение однородного уравнения y′ − y cos x = 0. Это уравнение имеет вид y′/y = cos x, которое является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя обе части, получаем ln|y| = sin x + C, где C - произвольная постоянная. Отсюда y = Ae^(sin x), где A = e^C - новая произвольная постоянная.

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения y′ − y cos x = e^(sin x) методом вариации произвольной постоянной. Для этого предполагаем, что A = A(x) - функция от x, и подставляем y = A(x)e^(sin x) в исходное уравнение. Получаем:

A'(x)e^(sin x) + A(x)e^(sin x)cos x - A(x)e^(sin x)cos x = e^(sin x)

Упрощая, находим:

A'(x) = 1

Интегрируя, получаем:

A(x) = x + B

Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y = (x + B)e^(sin x)

Чтобы удовлетворить начальному условию y(0) = 1, подставляем x = 0 и y = 1 в последнее выражение и находим:

1 = B

Следовательно, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

y = (x + 1)e^(sin x)

Для проверки подставляем это решение в исходное уравнение и получаем:

y′ − y cos x = (e^(sin x) + xe^(sin x)cos x) - (x + 1)e^(sin x)cos x = e^(sin x)

Что совпадает с правой частью уравнения. Значит, решение верное.

Вы можете найти больше примеров решения дифференциальных уравнений на сайтах [1](https://math.semestr.ru/math/example-differential.php), [2](http://www.mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html) и [3](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F).