Question

Найти в градусах решение уравнения sin5x*sin(5x+40°)=0,5cos40° при условии -10°<х<10°

Answer 1

В левой части от произведения синусов перейдем к разности косинусов

$0.5\cos40а-0.5\cos(10x+40а)=0.5\cos40а\\ -0.5\cos(10x+40а)=0\\ \cos (10x+40а)=0\\ 10x+40а=90а+180аn,~~ ,n \in \mathbb{Z}\\ 10x=50а+180аn,n \in \mathbb{Z}\\ x=5а+18аn,n \in \mathbb{Z}$

Отбор корней

$n=0;~~ x=5а$

Answer 2

Дано уравнение: sin(5x)*sin(5x+40°) = 0,5cos40°

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

sin(5x)*sin(5x+40°) - 0,5cos40° = 0

Заменим синус и косинус на их эквиваленты через экспоненты:

0,5(e^(j*40°)-e^(-j*40°))/2i - 0,5cos40° = 0

Simplify the equation:

(e^(j*40°)-e^(-j*40°))/2i - cos40° = 0

Multiply both sides by 2i:

e^(j*40°) - e^(-j*40°) - 2icos40° = 0

Now substitute e^(j*θ) = cos(θ) + jsin(θ):

cos(40°) + jsin(40°) - (cos(-40°) + jsin(-40°)) - 2icos40° = 0

Using the properties of cosine and sine:

cos(40°) + jsin(40°) - cos(40°) - jsin(40°) - 2icos40° = 0
-2icos40° = 0

Отсюда получаем, что -2icos40° = 0. Это выполняется только при x = +/- 5°.

Таким образом, решением уравнения sin5x*sin(5x+40°)=0,5cos40° при условии -10°