Question

Найдите все значения к,при каждом из которых прямая у=кх имеет с графиком функций у=x^2+4 ровно одну общую точку.Постройте этот график и все такие прямые.

Answer 1

Y = kx, y = x^2 + 4
kx = x^2 + 4
x^2 - kx + 4 = 0
Уравнение имеет одно решение, если D = 0
D = b^2 - 4ac = k^2 - 4*4 = k^2 - 16
k^2 - 16 = 0
k^2 = 16
k = +- 4

y = 4x
Найдем некоторые точки:
x = 0, y = 0,
x = 1, y = 4

y = -4x
Найдем некоторые точки:
x = 0, y = 0
x = 1, y = -4


y = x^2 + 4 -- это парабола, смешанная на 4 единицы вверх.

Графики во вложении.

Answer 2

Для того чтобы найти значения k, при которых прямая у=кх имеет ровно одну общую точку с графиком функции у=x^2+4, нужно найти точку пересечения этих двух графиков.

Первым делом, запишем уравнение прямой у=кх и уравнение функции у=x^2+4:
у=кх,
у=x^2+4.

Чтобы найти их точку пересечения, приравниваем у и получаем:
кх = x^2 + 4.

Поскольку нам нужно найти значения k, при которых прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции, мы должны найти значения x, при которых эта система имеет ровно одно решение.

Для того чтобы решить это уравнение, перепишем его в виде квадратного уравнения:
x^2 - кх + 4 = 0.

Уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Дискриминант можно найти по формуле: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:
a = 1,
b = -к,
c = 4.

Подставляя эти значения в формулу для дискриминанта, получаем:
D = (-к)^2 - 4*1*4 = к^2 - 16.

Теперь приравниваем D к нулю и решаем полученное уравнение:
к^2 - 16 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение по формуле квадратного корня:
к^2 = 16,
к = ±√16,
к = ±4.

Таким образом, прямая у=кх имеет ровно одну общую точку с графиком функции у=x^2+4 при значениях k равных ±4.

Построим график функции у=x^2+4 и прямых у=4х и у=-4х в одной системе координат:

```
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x**2 + 4

plt.plot(x, y, label='y = x^2 + 4')
plt.plot(x, 4*x, label='y = 4x')
plt.plot(x, -4*x, label='y = -4x')

plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)

plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
```

На графике видно, что прямая y=4x и прямая y=-4x пересекают график функции y=x^2+4 в одной точке каждая, что соответствует нашим рассуждениям выше.

Таким образом, решением задачи являются значения k = ±4.