Question

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра=1 . Найдите, расстояние от точки В до прямой Е1F1.

Answer 1

Диагональ основания DЕ - это диаметр описанной окружности.

Угол EFB - прямой. Длина FB равна 2*(1*cos 30°) = 2*(√3/2) = √3.

Ответ:  расстояние от точки В до прямой Е1F1 равно:

BF1 = √((√3)² + 1²) = 2.

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки В до прямой E1F1, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве.

Для начала, давайте нарисуем правильную шестиугольную призму ABCDEFA1B1C1D1E1F1:

E ___ F
/ \
A1-------B1
| |
D1-------C1
\ /
D ___ C

| |
B-----------B1
| |
F-----------F1
| |
E-----------E1
| |
D--------D1
| |
C---------C1
| |
B--------B1
| |
A---------A1

В этой призме прямая E1F1 параллельна ребру B1E1 и проходит через точку F1.

Мы можем представить прямую E1F1 в виде векторного уравнения: r = E1 + t * (F1 - E1), где r - точка на прямой E1F1, t - параметр.

Чтобы найти расстояние от точки B до прямой E1F1, нам нужно найти перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую E1F1. Для этого мы можем использовать векторное уравнение перпендикуляра и найти точку пересечения перпендикуляра с прямой E1F1.

Векторный уравнение перпендикуляра может быть представлено как: r' = B + s * n, где r' - точка на перпендикуляре, s - параметр, n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами B1E1 и F1E1.

Для расчета вектора n мы можем взять векторное произведение B1E1 и F1E1:
n = B1E1 x F1E1

Теперь мы должны найти точку пересечения r и r'. Пусть r = r', тогда:

E1 + t * (F1 - E1) = B + s * n

Так как ребра шестиугольной призмы равны 1, то E1 = (0,0,1), F1 = (0,0,0), B = (0,1,1). И вектор n мы уже рассчитали. Подставим эти значения и решим уравнение:

(0,0,1) + t * (0,0,-1) = (0,1,1) + s * n

По координатам получаем следующую систему уравнений:

0 = 0 + s * n_x
0 = 1 + s * n_y
1 + t = 1 + s * n_z

Из первого уравнения получаем s = 0.

Подставим s = 0 во второе уравнение:

0 = 1
Это невозможно, значит, система уравнений не имеет решений.

Следовательно, прямая E1F1 и точка B не пересекаются, и расстояние между ними равно расстоянию от точки B до параллельной прямой E1F1 плоскости. Поскольку E1F1 расположена в плоскости ABCDEF и все ребра равны 1, то расстояние между B и E1F1 будет равно расстоянию между точкой B и плоскостью ABCDEF.

Чтобы найти это расстояние, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

d = |(B - A)·n| / |n|

Где d - расстояние от точки B до плоскости ABCDEF, n - нормальный вектор к плоскости ABCDEF, определенный как векторное произведение векторов AB и AC.

Подставим известные значения и рассчитаем:

Берём A = (1,0,1), B = (0,1,1), C = (0,0,1):

AB = (0,1,1) - (1,0,1) = (-1,1,0),
AC = (0,0,1) - (1,0,1) = (-1,0,0).

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

n = AB × AC = (-1,1,0) × (-1,0,0) = (0,0,-1).

Теперь, найдем длину нормального вектора |n|:

|n| = √(0^2 + 0^2 + (-1)^2) = √1 = 1.

Теперь найдем скалярное произведение (B - A)·n:

(B - A)·n = (-1,1,0)·(0,0,-1) = -1.

Итак, расстояние d равно:

d = |-1| / |1| = 1/1 = 1.

Таким образом, расстояние от точки B до прямой E1F1 или плоскости ABCDEF равно 1.