Question

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CB1.

Answer 1

ДАНО: АВСDEFA1B1C1D1E1F1 - правильная шестиугольная призма ; АВ = АА1 = 1

НАЙТИ: p ( A ; CB1 )
_________________________

РЕШЕНИЕ:

1) точка А и отрезок СВ1 лежат в плоскости треугольника АВ1С.

Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны.
Значит, АВ1 = В1С => ∆ АВ1С - равнобедренный

Найдём все стороны ∆ АВ1С

2) Рассмотрим ∆ АВ1В ( угол АВВ = 90° ):

По теореме Пифагора:

АВ1² = АВ² + ВВ1²

АВ1² = 1² + 1² = 2

АВ1 = √2

АВ1 = В1С = √2

3) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Все углы правильного шестиугольника равны 120°.

Рассмотрим ∆ АВС ( АВ = ВС ):

По теореме косинусов:

АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABC

AC² = 1² + 1² - 2 × 1 × 1 × cos 120°

AC² = 2 - 2 × ( - 1/2 ) = 2 + 1 = 3

AC = √3

4) B1B перпендикулярен ВН
ВН перпендикулярен АС

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах В1Н перпендикулярен АС

Высота в равнобедренном ∆ АВ1С является и медианой и биссектрисой =>

АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × √3 = √3/2

5) Рассмотрим ∆ В1СН ( угол В1НС = 90° ):

По теореме Пифагора:

В1С² = В1Н² + НС²

В1Н² = ( √2 )² - ( √3/2 )² = 2 - 3/4 = 5/4

В1Н = √5/2

Опустим из точки А перпендикуляр АМ на отрезок В1С. Соответственно, АМ = р ( А ; В1С )

6) Найдём площадь ∆ В1АС:

S b1ac = 1/2 × AC × B1H

С другой стороны, S b1ac = 1/2 × B1C × AM

Приравняем площади и получим:

1/2 × АС × В1Н = 1/2 × В1С × АМ

АС × В1Н = В1С × АМ

АМ =
$= \frac{ \frac{ \sqrt{5} }{2} \times \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \frac{ \sqrt{15} }{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{15} }{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{15} \times \sqrt{2} }{2 \times 2} = \\ = \frac{ \sqrt{30} }{4}$

Значит, p ( А ; В1С ) = √30/4



ОТВЕТ: √30 / 4

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки A до прямой CB1 в правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, нужно следовать нескольким шагам:

1. Найдите вектор, соединяющий точку C и точку B1.
2. Найдите вектор, соединяющий точку C и точку A.
3. Найдите проекцию вектора AC на вектор CB1.
4. Вычтите проекцию из вектора AC.
5. Вычислите длину полученного вектора.

Шаги 1 и 2: Для простоты предположим, что шестиугольная призма находится в трехмерном пространстве, и координаты точек A, B1, C, и других известны. Обозначим векторы как $\vec{AB1}$ и $\vec{AC}$. Тогда:

$\vec{AB1} = \vec{B1} - \vec{A}$

$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$

Шаг 3: Найдем проекцию вектора $\vec{AC}$ на вектор $\vec{CB1}$. Обозначим проекцию как $\vec{P}$.

$\vec{P} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{CB1}}{\left\|\vec{CB1}\right\|^2} \cdot \vec{CB1}$

Здесь $\vec{AC} \cdot \vec{CB1}$ представляет скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB1}$, а $\left\|\vec{CB1}\right\|$ - длина вектора $\vec{CB1}$.

Шаг 4: Найдем вектор $\vec{D}$, который является разностью векторов $\vec{AC}$ и $\vec{P}$.

$\vec{D} = \vec{AC} - \vec{P}$

Шаг 5: Вычислим длину вектора $\vec{D}$. Обозначим ее как $d$.

$d = \left\|\vec{D}\right\|$

Таким образом, $d$ представляет расстояние от точки A до прямой CB1.

Обратите внимание, что все вычисления должны проводиться в трехмерном пространстве, и известны координаты точек A, B1, и C. Если у вас есть значения координат, вы можете подставить их в формулы для вычисления расстояния $d$.