Question

Исследовать функцию x/(x-2)^2 и построить график

Answer 1

ДАНО

Y= x/(x-2)²

1.Область определения D(x). (х-2)²≠0. Х≠2.

 Х∈(-∞;2)∪(2;+∞). Вертикальная асимптота: х = 2. 

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности. 

limY(-∞) = 0  limY(+∞) = 0. Горизонтальная асимптота: Y = 0. 

5. Исследование на чётность.Y(-x)  ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

10. График в приложении.

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x / (x - 2)^2 и построения её графика мы можем выполнить следующие шаги: 1. Найдем область определения функции: Функция имеет разрыв при x = 2 (знаменатель становится равным нулю), поэтому область определения будет всеми действительными числами x, кроме x = 2. Математически это можно записать как D(f) = (-∞, 2) ∪ (2, +∞). 2. Найдем вертикальную асимптоту: Вертикальная асимптота будет у функции при x = 2, так как это место разрыва. Она будет вертикальной, так как знаменатель функции становится равным нулю при x = 2. 3. Найдем горизонтальную асимптоту: Для этого рассмотрим предел функции при x, стремящемся к бесконечности: lim(x → ±∞) f(x) = lim(x → ±∞) x / (x - 2)^2 Для упрощения вычислений можно воспользоваться правилом Лопиталя: lim(x → ±∞) x / (x - 2)^2 = lim(x → ±∞) 1 / (2(x - 2)) Теперь вычислим предел: lim(x → ±∞) 1 / (2(x - 2)) = 0 Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y = 0 при x → ±∞. 4. Найдем точки пересечения с осями координат: Для этого приравниваем x и y к нулю и решаем уравнение: x = 0: 0 / (-2)^2 = 0 y = 0: x / (x - 2)^2 = 0 Уравнение y = 0 имеет единственное решение при x = 0. 5. Найдем производную функции: f(x) = x / (x - 2)^2 Для вычисления производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: f'(x) = (x - 2)^2 * (1) - x * 2(x - 2) * 1 / (x - 2)^4 f'(x) = (x - 2) - 2x / (x - 2)^3 6. Найдем точки экстремума: Для этого найдем значения x, при которых производная равна нулю: (x - 2) - 2x / (x - 2)^3 = 0 Умножим обе стороны на (x - 2)^3, чтобы избавиться от дроби: (x - 2)^4 - 2x = 0 Раскроем степень: x^4 - 8x^3 + 20x^2 - 16x + 4 - 2x = 0 x^4 - 8x^3 + 20x^2 - 18x + 4 = 0 Это уравнение четвертой степени, и его решение может быть сложным. Можно использовать численные методы, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю. 7. Построим график функции: Для построения графика учтем полученные результаты. Мы знаем, что у функции есть вертикальная асимптота при x = 2 и горизонтальная асимптота при y = 0. Также у нас есть точка пересечения с осями координат: (0, 0). График будет выглядеть следующим образом: - Он будет стремиться к вертикальной асимптоте x = 2. - Он будет приближаться к горизонтальной асимптоте y = 0 при x → ±∞. - Он будет проходить через точку (0, 0). Точные формы и положения экстремумов и других характеристик графика могут быть найдены численно или с использованием компьютерного программного обеспечения для построения графиков.