Question

Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) студент знает только два вопроса; в) студент знает только один вопрос.

Answer 1

а) Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос равна 45/60 = 3/4, на второй - 44/59, на третий - 43/58. По теореме умножения, вероятность того, что студент знает все три вопроса, равна

$P=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{44}{59}\cdot\dfrac{43}{58}\approx0.415$

б) Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов $C^3_{60}=\dfrac{60!}{3!57!}=34220$

На один вопрос, который не знает студент можно ответить 15 способами, а 2 другие вопросы, которые знает студент равно $C^2_{45}=\dfrac{45!}{43!2!}=990$

Вероятность того, что студент знает только два вопроса, равна $P=\dfrac{15\cdot990}{34220}\approx0.434$

в) Студент на один знающий вопрос может ответить $45$ способами, а те 2 вопроса, которые не знает ответит $C^2_{15}=\dfrac{15!}{13!2!}=105$ способами.

Вероятность того, что студент знает только один вопрос, равна

$P=\dfrac{45\cdot105}{34220}=0.138$

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо использовать понятие условной вероятности.

Пусть событие A - студент знает все три вопроса, а событие B - студент знает только два вопроса, а событие C - студент знает только один вопрос.

а) Чтобы найти вероятность P(A), нужно найти долю студентов, которые знают все три вопроса из числа тех, кто знает 45 вопросов из 60. Так как на каждом билете 3 вопроса, то количество билетов, где студент знает все вопросы, равно 45 / 3 = 15. Таким образом, P(A) = 15 / 60 = 1 / 4.

б) Чтобы найти вероятность P(B), нужно найти долю студентов, которые знают только два вопроса из числа тех, кто знает 45 вопросов из 60. Есть несколько вариантов, как можно выбрать два вопроса из трех: AB, BC, AC, где A, B и C - соответственно вопросы, которые студент знает. Получается, что количество комбинаций, где студент знает только два вопроса, равно 3 * 45 * 15, где 45 - это количество вопросов, которые студент знает, а 15 - количество вариантов выбора двух вопросов. Таким образом, P(B) = 3 * 45 * 15 / 60 = 135 / 60 = 9 / 20.

в) Чтобы найти вероятность P(C), нужно найти долю студентов, которые знают только один вопрос из числа тех, кто знает 45 вопросов из 60. На каждом билете содержится три вопроса, поэтому количество комбинаций, где студент знает только один вопрос, равно 45 * 40, где 45 - количество вопросов, которые студент знает, а 40 - количество вопросов, которые студент не знает. Таким образом, P(C) = 45 * 40 / 60 = 1800 / 60 = 3 / 1.

Итак, вероятность того, что студент знает все три вопроса, равна 1 / 4, вероятность того, что студент знает только два вопроса, равна 9 / 20, а вероятность того, что студент знает только один вопрос, равна 3 / 1.