Question

Кусок проволоки длиной 36 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника чтобы его площадь была наибольшей?

Answer 1

Доброе утро!

Не имеет при одном и том же периметре (у нас это будет 36 м), площадь всегда будет одинаковой.

Answer 2

Ответ: 9 метров

Пошаговое объяснение:

Обозначим длину одной стороны прямоугольника как x, а другой – как y. Задачу можно сформулировать как максимизацию функции площади A(x, y) = x * y при условии 2x + 2y = 36.

Выразим одну переменную через другую из уравнения условия:

2x + 2y = 36

x + y = 18

y = 18 – x

Подставим выражение для y в функцию площади:

A(x) = x * (18 - x)

Раскроем скобки:

A(x) = 18x - x^2

Для максимизации площади найдем критические точки, вычислив производную функции площади и приравняв ее к нулю:

A'(x) = 18 – 2x

18 – 2x = 0

2x = 18

x = 9

Подставим найденное значение x назад в выражение для y:

y = 18 – x

y = 18 – 9

y = 9

Итак, найденная критическая точка (9, 9) указывает на то, что площадь прямоугольника будет наибольшей, когда стороны имеют длину 9 метров каждая.

Таким образом, для максимизации площади прямоугольника его стороны должны иметь длину 9 метров.

Answer 3

Чтобы найти длину сторон прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей, давайте рассмотрим задачу более подробно. Пусть одна из сторон прямоугольника равна "x" метров, а другая сторона равна "36 - 2x" метров. Мы вычитаем 2x, потому что общая длина проволоки равна 36 метрам, и "x" метров уходит на одну сторону, а оставшиеся "36 - x" метров на другую сторону. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: S = x * (36 - 2x). Теперь давайте найдем максимум этой функции. Для этого нужно найти производную и приравнять ее к нулю: S' = x * (36 - 2x)' = x * (36 - 2x)' - x' * (36 - 2x) = 36x - 2x^2 - 2x(36 - 2x) = 36x - 2x^2 - 72x + 4x^2 = -2x^2 + 36x - 72. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: -2x^2 + 36x - 72 = 0. Для нахождения корней этого квадратного уравнения, мы можем разделить его на -2: x^2 - 18x + 36 = 0. Теперь используем квадратное уравнение, чтобы найти значения "x". Мы можем воспользоваться дискриминантом (D = b^2 - 4ac) и формулой: x = (-b ± √D) / (2a). В нашем случае: a = 1, b = -18, c = 36. D = (-18)^2 - 4 * 1 * 36 = 324 - 144 = 180. Теперь найдем значения "x": x1 = (18 + √180) / 2 ≈ 18 + 6√5 ≈ 31.39 м, x2 = (18 - √180) / 2 ≈ 18 - 6√5 ≈ 6.61 м. Теперь у нас есть два значения "x", которые являются возможными длинами одной из сторон прямоугольника. Другая сторона будет соответственно равна 36 - 2x1 ≈ 3.22 м и 36 - 2x2 ≈ 29.78 м. Теперь, чтобы определить, при какой длине "x" площадь наибольшая, мы можем вычислить площади для обоих случаев: 1. Для x ≈ 31.39 м: S1 ≈ 31.39 * 3.22 ≈ 100.72 квадратных метра. 2. Для x ≈ 6.61 м: S2 ≈ 6.61 * 29.78 ≈ 196.54 квадратных метра. Итак, площадь наибольшая, когда одна из сторон прямоугольника равна примерно 6.61 метров, а другая сторона равна примерно 29.78 метрам.