Question

В кошику m білих і n чорних кульок. З кошика випадково виймають k кульок.Визначити ймовірність того, що серед вийнятих кульок повівну білих і чорних .m=8; n=5; k=4.

Answer 1

Количество возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов вынуть 4 шара из 8 + 5 = 13. Т.е. $C^4_{13}=\dfrac{13!}{9!4!}=715$

Найдем количество благоприятных исходов.

Выбрать два белых шаров можно $C^2_8=\dfrac{8!}{2!6!}=28$ способами, а два черных шаров $C^2_5=\dfrac{5!}{2!3!}=10$. По правилу произведения, всего таких способов $28\cdot 10=280$

Вероятность того, что среди взятых шаров поровну белых и черных, равна $P=\dfrac{280}{715}=\dfrac{56}{143}$

Ответ: $\dfrac{56}{143}$

Answer 2

Дано: m = 8 білих кульок, n = 5 чорних кульок, k = 4 кульки, які будуть випадково витягнуті з кошика.

Ми хочемо обчислити ймовірність того, що серед витягнутих кульок буде рівно по m білих і n чорних.

Перш за все, для обчислення ймовірності нам потрібно знайти загальну кількість можливих способів витягнути k кульок з кошика. Це можна зробити за допомогою формули комбінацій:

C(m + n, k) = (m + n)! / (k!(m + n - k)!)

де "!"" позначає факторіал числа.

В нашому випадку:

C(8 + 5, 4) = (8 + 5)! / (4!(8 + 5 - 4)!) = 13! / (4!9!) = (13 * 12 * 11 * 10) / (4 * 3 * 2 * 1) = 13 * 11 * 10

Отже, загальна кількість можливих способів витягнути 4 кульки з кошика дорівнює 13 * 11 * 10.

Далі, нам потрібно знайти кількість способів витягнути рівно по m білих і n чорних кульок. Це можна зробити за допомогою формули комбінацій для обох видів кульок окремо:

C(m, m) = m! / (m!(m - m)!)

C(n, n) = n! / (n!(n - n)!)

Оскільки м - це кількість білих кульок і n - кількість чорних кульок, тут ми просто обчислюємо факторіал кожного числа окремо, а тоді ділимо його на факторіал 0 (який дорівнює 1).

У нашому випадку:

C(8, 8) = 8! / (8!(8 - 8)!) = 8! / 8! = 1

C(5, 5) = 5! / (5!(5 - 5)!) = 5! / 5! = 1

Отже, кількість способів витягнути рівно по 8 білих і 5 чорних кульок дорівнює 1 для обох видів кульок.

Тепер ми можемо обчислити ймовірність того, що серед витягнутих кульок буде рівно по m білих і n чорних. Ймовірність дорівнює кількості способів витягнути рівно по m білих і n чорних кульок поділене на загальну кількість способів витягнути 4 кульки з кошика:

P = (C(8, 8) * C(5, 5)) / (C(8 + 5, 4)) = (1 * 1) / (13 * 11 * 10)

Тепер можемо обчислити значення цієї ймовірності:

P = (1 / (13 * 11 * 10)) ≈ 0.0077

Отже, ймовірність того, що серед витягнутих 4 кульок буде рівно по 8 білих і 5 чорних, становить близько 0.0077.