Question

Андрей и Борис бегают по круговой дорожке, причём Андрей бежит по часовой стрелке, а Борис - против . Если Андрей увеличит свою скорость в три раза , мальчики начнут встречаться в полтара раза чаще . Во сколько раз чаще они станут встречаться , если свою скорость увеличит в три раза Борис?​

Answer 1

Решение:

Пусть скорость Андрея равна $x$ , а скорость Бориса - $y$ (частей расстояния за единицу времени).  

Тогда Андрей и Борис за эту же самую единицу времени будут проходить вместе  $x+y$  часть расстояния.

Но если, после увеличения скорости Андрея, мальчики встречаются в $1,5$ раз чаще, то и их общий проходимый путь в  

$1,5 \cdot (x+y) = 3x + y\\3x+3y = 6x+2y\\y=3x$

А вот это - очень важный результат! Скорость Бориса в три раза выше скорости Андрея, вот что мы получили. Можно сказать, что задача практически решена!

Раньше мальчики за единицу времени пробегали $\dfrac{1}{x+y} = \dfrac{1}{x+3x}=\dfrac{1}{4x}$ часть расстояния за единицу времени . А сейчас: $\dfrac{1}{x+3y} = \dfrac{1}{x+9x} = \dfrac{1}{10x}$.

И если мы поделим первое число на второе, то получим, во сколько раз Андрей и Борис стали чаще встречаться:

$\displaystyle \frac{1}{4x} : \frac{1}{10x} = \frac{10x}{4x} = \frac{5}{2} = 2,5$

Вот теперь задача решена!

Ответ: в 2,5 раза.

Answer 2

Пусть скорость Андрея до изменений равна А, скорость Бориса до изменений равна B.

Если Андрей бегает по часовой стрелке, то за одинаковое время они проходят одинаковое расстояние. То есть, если Борис бежит некоторое время, то за это же время Андрей пробежит такое же расстояние, но в обратном направлении.

При увеличении скорости Андрея в 3 раза, его новая скорость будет 3A. Так как они все еще проходят одинаковые расстояния за одинаковое время, то время встречи не изменится.

Теперь рассмотрим случай, когда Борис увеличивает свою скорость в 3 раза. Его новая скорость будет 3B. Теперь время встречи изменится, так как Андрей продолжает бегать со своей прежней скоростью, а Борис увеличил скорость.

Чтобы понять, во сколько раз чаще они станут встречаться, найдем отношения времени встречи после изменения скорости Бориса к времени встречи до изменения скорости.

Пусть время встречи до изменения скорости Бориса равно T1, а время встречи после изменения скорости Бориса равно T2. Тогда отношение T2 к T1 можно найти следующим образом:

T2 = T1 - ΔT,

где ΔT - время, за которое Андрей и Борис догоняют друг друга после изменения скорости Бориса.

Поскольку Андрей бежит в обратном направлении, его относительная скорость (относительно Бориса) после изменения скорости Бориса равна 3B + B = 4B. То есть, они будут догонять друг друга с относительной скоростью 4B.

Отношение времени доходит до 0 после каждой встречи. Так как временной интервал между встречами уменьшается в полтора раза, то время, за которое Андрей и Борис догоняют друг друга после изменения скорости Бориса равно T1/1.5 = 2T/3.

Таким образом, ΔT = T1 - 2T/3 = T1/3.

Теперь находим отношение T2 к T1:

T2/T1 = 1 - T1/3T1 = 1 - 1/3 = 2/3.

Итак, они будут встречаться в 2/3 раза чаще после увеличения скорости Бориса в 3 раза.