Question

Вычислить интеграл от 0 до 1 (z^3)/(z^(8)+1)dz

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

умножим и разделим на 4 числитель и знаменатель.

дz⁴=4*z³дz

подынтегральное выражение перепишем как уду/(у²+1) , интеграл от него табличный, равен арктангенс игрек. Подставим нижний и верхний пределы интегрирования по замене у =зэт в четвертой степени, тогда верхний предел равен 1⁴=1, а нижний 0⁴=0; 1/4=0.25

(1/4)∫ду/(у²+1)=arctgy в пределах от нуля до единицы, равно арктангес 1 минус арктангенс нуля. т.е.(1/4)*(π/4-0)=π/16

Answer 3

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом частей.

Пусть u = z^3 и v' = 1/(z^8 + 1).

Дифференцируя u, получаем du = 3z^2 dz.
Интегрируя v', находим v = ∫(1/(z^8 + 1)) dz.

Теперь применим формулу интегрирования по частям:
∫u v' dz = uv - ∫v du.

Учитывая значения u и du, получаем:
∫(z^3/(z^8 + 1)) dz = z^3 * v - ∫(v * 3z^2) dz.

Для вычисления первого слагаемого z^3 * v, возьмем интеграл от v:
∫(1/(z^8 + 1)) dz.

Здесь можно представить знаменатель знаменатель дроби в виде произведения сопряженных комплексных чисел, чтобы применить метод частных дробей или разложение в ряд Фурье. Пропустим детали и предоставим результат:
∫(1/(z^8 + 1)) dz = 1/8 * ∑(k=0 to 7) ( (A_k * e^((2πik)/8) / (z - e^((2πik)/8)) ) ),

где A_k - коэффициенты, зависящие от начального значения v(0).

Теперь вычисляем второе слагаемое ∫(v * 3z^2) dz:
3 * ∫( (A_k * e^((2πik)/8)) / (z - e^((2πik)/8)) ) * z^2 dz.

Здесь также нужно применить метод частных дробей или разложение в ряд Фурье, чтобы вычислить интеграл. Пропустим детали и предоставим результат:
3 * ∑(k=0 to 7) ( B_k * z^2 * ln|z - e^((2πik)/8)| ),

где B_k - коэффициенты, зависящие от начального значения v(0).

Таким образом, окончательное решение будет иметь вид:
∫(z^3/(z^8 + 1)) dz = z^3 * v - ∫(v * 3z^2) dz
= z^3 * ( 1/8 * ∑(k=0 to 7) ( (A_k * e^((2πik)/8) / (z - e^((2πik)/8)) ) ) )
- 3 * ∑(k=0 to 7) ( B_k * z^2 * ln|z - e^((2πik)/8)| ).

Очевидно, что данный интеграл не имеет простого выражения в виде элементарных функций, т.к. требует применения сложных методов решения.