Question

Периметр прямоугольного участка земли равен 100 м. Задайте формулой функцию зависимости площади участка от длины одной из его сторон. Найдите размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей.

Answer 1

Одна сторона x м, другая (100-2x)/2 = 50-x м.

Площадь

S(x) = x·(50-x) = -x²+50x.

График функции S(x) - парабола с ветвями, направленными вниз. Наибольшего значения функция (площадь) достигает в точке вершины параболы. Найдём её координаты:

x = -b/2a = -50/(-2) = 25

S(25) = -625+1250 = 625 м² - наибольшая площадь.

25 м - одна сторона

50-25 = 25 м - другая сторона.

Answer 2

Периметр прямоугольного участка земли равен 100 м. Обозначим длину одной из его сторон через x, а другую сторону через y. Тогда периметр можно записать следующим образом:

2x + 2y = 100

Так как площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то площадь S выражается следующей формулой:

S = x * y

Мы хотим найти размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей. Для этого нам нужно найти экстремум функции S, то есть значения x и y, при которых производная функции S равна нулю.

Вычислим производную функции:

dS/dx = y dS/dy = x

Приравняем их к нулю:

y = 0 x = 0

Однако, нулевые значения не имеют смысла в данном контексте, поэтому это не наши искомые значения.

Таким образом, для нахождения максимального значения площади необходимо решить систему уравнений:

2x + 2y = 100 S = x * y

Мы можем решить первое уравнение относительно y:

y = (100 - 2x)/2 y = 50 - x

Подставим это значение во второе уравнение:

S = x * (50 - x)

Теперь у нас есть функция площади зависимости от длины одной из сторон.

Чтобы найти значения x и y, при которых площадь будет наибольшей, нам необходимо использовать метод нахождения экстремумов. Найдем точку максимума путем нахождения x, при котором производная функции S равна нулю:

dS/dx = 50 - 2x = 0 2x = 50 x = 25

Подставим это значение x в первое уравнение:

2 * 25 + 2y = 100 50 + 2y = 100 2y = 100 - 50 2y = 50 y = 25

Таким образом, при длине одной из сторон равной 25 м, площадь участка будет наибольшей. Размеры участка будут: длина одной стороны - 25 м, длина другой стороны - 25 м.