Question

Марсель прибавил к некоторому натуральному числу n его наименьший натуральный делитель, больший 1 и получил 770. найдите все такие числа n

Answer 1

Ответ:

768, 763

Пошаговое объяснение:

Внимание! Число n из условия и n из решения - разные числа.

Наименьший натуральный делитель числа, больший 1, в нашем случае - простое число. Докажем это. Пусть такое число a=p*n составное, где p, n∈N, p - простое, n>1. (Очевидно, что p<a, n<a.) Но тогда получается, что число также делится на p, которое меньше a. С другой стороны p≥2(p - простое), а значит это тоже натуральный делитель исходного числа, и при этом он меньше наименьшего такого делителя. Противоречие. Значит a - наименьший простой делитель числа.

Исходное число кратно а, а кратно а, значит и сумма кратна a, то есть 770 кратно а.

• а=2→число равно 770-2=768. Его наименьший простой делитель равен 2. Подходит
• a=5→число равно 770-5=765. 765 кратно 3(т.к. 7+6+5=18=6*3), то есть делится на простое число, меньшее a. Противоречие
• a=7→число равно 770-7=763. 763=7*109, наименьший простой делитель 763 равен 7. Подходит
• a=11→число равно 770-11=759. 759 кратно 3(7+5+9=21=3*7), то есть делится на простое число, меньшее a. Противоречие

Answer 2

Пусть искомое число n равно x, а его наименьший натуральный делитель равен y.

Тогда согласно условию задачи, у нас есть уравнение:

x + y = 770

Так как y – наименьший натуральный делитель числа x, y должно быть простым числом, которое больше 1 и не превышает √x. Мы также знаем, что y является делителем числа x. То есть остаток от деления x на y должен быть равен нулю:

x mod y = 0

Мы также знаем, что y не может быть больше x, иначе y уже не будет являться наименьшим натуральным делителем числа x.

Итак, мы получили систему уравнений:

x + y = 770 x mod y = 0 1 < y < √x y < x

Теперь посмотрим на делители числа 770. Найдем все простые числа, которые являются делителями 770:

2, 5, 7, 11

Подставляя эти числа в уравнение x + y = 770, мы получаем следующие возможные значения x и y:

2 + 768 = 770 5 + 765 = 770 7 + 763 = 770 11 + 759 = 770

Из этих возможных значений, нужно проверить такие числа:

2 + 768 = 770 – так как 2 не является наименьшим натуральным делителем 768, это не подходит. 5 + 765 = 770 – так как 5 не является наименьшим натуральным делителем 765, это не подходит. 7 + 763 = 770 – тут все удовлетворяет условию задачи. 11 + 759 = 770 – так как 11 не является наименьшим натуральным делителем 759, это не подходит.

В итоге, найденное число n, которое прибавленное к наименьшему натуральному делителю больше 1 даёт 770, равно 763.