Question

Збільшиться чи зменшиться значення дробу та в скільки разів, якщо до його знаменника додати число, яке дорівнює цьому знаменнику? Човен пропливає певну відстань озером за 6 год, а за течією річки таку саму відстань за 5 год. За скільки годин таку саму відстань цією річкою пропливе пліт?​

Answer 1

Відповідь:

№1) Зменшиться у 2 рази; №2) за 30 годин

Покрокове пояснення:

№1

Нехай є певний дріб $\frac{x}{y}$. До його знаменника додамо число, що дорівнює цьому знаменнику (у). Виходить $\frac{x}{y+y}$ = $\frac{x}{2y}$. Значення дробу зменшиться (оскільки риска дробу означає дію ділення, а знаменник є дільником, то коли ми збільшуємо дільник, ми ділимо знаменник на більше число і маємо менший результат). Тепер визначимо, у скільки разів новий дріб менший за початковий. Для цього скористаємось дією ділення: $\frac{x}{y}$÷$\frac{x}{2y}$=$\frac{x}{y}$×$\frac{2y}{x}$=2(рази).

№2

Нехай ця певна відстань дорівнює 1. Тоді озером човен за 1 годину пропливе 1/6 частину цієї відстані. А за течією - 1/5 частину. Пліт не має власної швидкості і рухається тільки завдяки швидкості течії. Отже, за 1 годину він пропливе  1/5 - 1/6 = 1/30 частину цієї відстані. А всю відстань тоді пліт пропливе за 1÷1/30 = 30 (год)

Answer 2

1. Збільшення або зменшення значення дробу при додаванні числа до його знаменника:

Якщо ми маємо дріб a/b і додаємо до його знаменника число b, то новий дріб буде мати вигляд (a/b + b)/b. Щоб з'ясувати, на скільки разів він збільшиться або зменшиться, порівняємо новий дріб з початковим:

(a/b + b)/b = (a + b * b)/b = (a + b^2)/b

Тепер порівняємо цей новий дріб з початковим дробом a/b:

(a + b^2)/b : a/b = (a + b^2)/b * (b/a) = (a + b^2)/(b * a)

Отже, новий дріб буде більший або менший в залежності від того, чи більше чи менше значення виразу (a + b^2) порівняно з b * a. Якщо (a + b^2) > b * a, то дріб збільшиться, і на скільки разів він збільшиться дорівнює виразу (a + b^2)/(b * a). Якщо (a + b^2) < b * a, то дріб зменшиться, і на скільки разів він зменшиться дорівнює виразу (b * a)/(a + b^2).

2. Щодо питання про човен, який пропливає річку:

Для визначення часу, за який човен пропливе певну відстань річкою, важливо враховувати швидкість човна та швидкість течії річки.

За даними завдання, човен пропливає певну відстань озером за 6 годин і за течією річки таку саму відстань за 5 годин. Позначимо швидкість човна як Vc і швидкість течії річки як Vr.

Так як відстань залишається незмінною, ми можемо використовувати формулу відстані, яка виглядає наступним чином:

Відстань = Швидкість * Час

Для озера:

Відстань = Vc * 6

Для річки:

Відстань = (Vc + Vr) * 5

З озера і річки відстань однакова, тому:

Vc * 6 = (Vc + Vr) * 5

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для Vr (швидкості течії річки):

6Vc = 5Vc + 5Vr

5Vr = 6Vc - 5Vc

5Vr = Vc

Vr = Vc / 5

Отже, час, за який човен пропливе таку саму відстань річкою, дорівнює 5 годинам.