Question

Знайдіть значення виразу 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+...+1/(2019*2020)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}$

База индукции ($n=1$):

$\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$, верно.

Переход (пусть равенство верно при $n=k$):

$\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+...+\dfrac{1}{k\cdot\left(k+1\right)}\right)+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)}=\dfrac{k\cdot (k+2)}{(k+1)\cdot (k+2)}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)}=\\=\dfrac{k+1}{k+2}$

Значит по принципу математической индукции доказываемое верно и ответ на задачу $\dfrac{2019}{2020}$.

Задание выполнено!

Answer 2

Даний вираз представляє собою суму ряду, в якому кожен член є дробом, де чисельник є одним числом більше за знаменник.

Ми можемо спростити кожен дріб, розклавши його на суму двох дробів:

1/(n * (n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

Тоді вираз можна переписати так:

1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2019 - 1/2020

Бачимо, що всі дроби з винятком 1/1 та -1/2020 взаємно скасовуються. Тому залишається тільки перший та останній дріб:

1/1 - 1/2020 = 1 - 1/2020

Отже, значення даного виразу дорівнює 1 - 1/2020.