Question

Помогите пожалуйста 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² - 4x +4, y = 0, x = 0​

Answer 1

Ответ:      2 2/3 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

1)  Строим графики функций   y = x² - 4x +4, y = 0, x = 0​.  (См. скриншот)

Пределы интегрирования  a=0;  b=2.

2)  Площадь S=∫ₐᵇ( x² - 4x +4)dx =∫₀²(x²)dx - 4∫₀²xdx + 4∫₀²dx =

= 1/3(x³)|₀²-4/2(x²)|₀²+4(x)|₀² = 1/3(2³-0³) - 2(2²-0²) +4(2-0) =

= 8/3 - 8 + 8 = 8/3 = 2 2/3 кв. ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, сначала нужно определить точки их пересечения.

1. Начнем с уравнения y = x² - 4x + 4. Чтобы найти точки пересечения с осью x, приравняем y к нулю: 0 = x² - 4x + 4.

2. Полученное квадратное уравнение может быть решено путем факторизации: 0 = (x - 2)².

Это значит, что существует одна точка пересечения линии y = x² - 4x + 4 с осью x, которая равна x = 2.

3. Теперь найдем точку пересечения с осью y, приравняв x к нулю. Получаем точку (0, 4).

Таким образом, фигура, ограниченная данными линиями, является частью параболы, проходящей через точки (0, 4) и (2, 0).

Чтобы найти площадь этой фигуры, применим интеграл по оси x:

∫[(x² - 4x + 4) - 0]dx в пределах от 0 до 2.

∫[x² - 4x + 4]dx в пределах от 0 до 2.

Вычисляя интеграл, получаем:

∫[x² - 4x + 4]dx = 1/3x³ - 2x² + 4x в пределах от 0 до 2.

Подставляя пределы интегрирования, получаем:

(1/3 * 2³ - 2 * 2² + 4 * 2) - (1/3 * 0³ - 2 * 0² + 4 * 0).

(8/3 - 8 + 8) - (0 - 0 + 0).

(8/3 - 8 + 8) - 0.

8/3 - 8 + 8.

8/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 4x + 4, y = 0, x = 0, равна 8/3.