Question

Найти решение уравнения: 8 sin^2 x + cosx + 1 = 0

Answer 1

$x=\pi +2\pi n$, n - целые числа

Пошаговое объяснение:

8 sin^2 x + cosx + 1 = 0

Нужно использовать основное тригонометрическое тождество:

8 (1-cos^2 x) + cosx + 1 = 0

8 - 8cos^2 x + cosx + 1 = 0

9 - 8cos^2 x + cosx = 0

8cos^2 x - cosx - 9 = 0

$D=(-1)^2-4\cdot8\cdot(-9)=1+288=289$

$cosx=\frac{1+17}{2*8} =\frac{18}{16} > 1$

Первый корень больше 1, а косинус таких значений принимать не может.

$cosx=\frac{1-17}{2*8} =\frac{-16}{16} =-1$

Для уравнения cosx=-1 есть решение:

$x=\pi +2\pi n$, n - целые числа

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся тригонометрическими свойствами и преобразованиями. Начнем с замены sin^2(x) = 1 - cos^2(x), чтобы упростить уравнение:

8(1 - cos^2(x)) + cos(x) + 1 = 0

Раскроем скобки:

8 - 8cos^2(x) + cos(x) + 1 = 0

Перенесем все члены в левую часть:

8cos^2(x) - cos(x) - 9 = 0

Теперь получили квадратное уравнение относительно cos(x). Для его решения можно воспользоваться квадратным уравнением или графическим методом.

Если мы применим квадратное уравнение, то получим:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

a = 8, b = -1, c = -9

cos(x) = (1 ± √(1 + 288)) / 16

cos(x) = (1 ± √289) / 16

cos(x) = (1 ± 17) / 16

Таким образом, получаем два возможных значения для cos(x):

1) cos(x) = (1 + 17) / 16 = 18 / 16 = 9 / 8

2) cos(x) = (1 - 17) / 16 = -16 / 16 = -1

Теперь найдем соответствующие значения для sin(x) с использованием тригонометрической тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1) cos(x) = 9 / 8 Тогда sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = 1 - (9 / 8)^2 sin(x) = ± √(1 - (9 / 8)^2)

2) cos(x) = -1 Тогда sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 sin(x) = ± √0 = 0

Таким образом, мы получаем следующие решения для уравнения:

1) x = arcsin(± √(1 - (9 / 8)^2)) 2) x = arcsin(0)

Обратите внимание, что в каждом решении может быть несколько значений для x, так как синус и арксинус являются периодическими функциями.

Примеры кода:

import math

# Решение 1
cos_x_1 = 9 / 8
sin_x_1 = math.sqrt(1 - cos_x_1**2)
x_1 = math.asin(sin_x_1)

# Решение 2
cos_x_2 = -1
sin_x_2 = 0
x_2 = math.asin(sin_x_2)

print("Решение 1:")
print("x =", x_1)

print("Решение 2:")
print("x =", x_2)

Пожалуйста, обратите внимание, что в коде используется функция `asin` из модуля `math` для вычисления арксинуса. Также, помните, что углы должны быть указаны в радианах, поэтому результирующие значения x должны быть сконвертированы в радианы при необходимости.