Question

Н доску выписали 20 различных натуральных чисел. Оказалось, что среди них 11 чисел деляться на 13,а 13 деляться на 11.Докадите, что среди них есть число ,большее 500

Answer 1

т.к. 13 чисел делится на 11, и 11 делятся на 13, а всего 20 чисел, то

(11 + 13) - 20 = 4 (числа) делятся и на 11 и на 13

наименьшие натуральные числа, которые делятся и на 11 и на 13:

143, 286, 429, 572

т.к. это наименьшие, то число 572 либо большее число обязательно есть

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Допустим, что среди этих 20 различных натуральных чисел нет чисел, больших 500.

Мы знаем, что 11 чисел делятся на 13, значит, среди них есть числа, кратные 13 (так как 11 не делится на 13). Покажем, что среди чисел, кратных 13, есть число, большее 500.

Предположим, что такого числа нет. То есть, все числа, кратные 13, меньше или равны 500. Так как наименьшее число, кратное 13 и большее 500, это 520, а наибольшее число, кратное 13 и меньшее или равное 500, это 494, то среди этих 11 чисел есть числа от 494 до 520.

Теперь рассмотрим число 13. Мы знаем, что оно делится на 11. Если бы число 13 не делится на 11, то остаток от деления на 11 был бы отличен от нуля. Но так как остаток от деления 13 на 11 равен нулю, мы можем сказать, что среди этих 20 чисел есть число 13.

Теперь у нас есть 11 чисел, кратных 13 (от 494 до 520) и число 13. Всего таких чисел 12. Осталось доказать, что среди них есть число, которое больше 500.

Если бы все эти числа были меньше 500, то наибольшее из них (520) было бы меньше, чем наименьшее число, меньшее или равное 500, кратное 13 (494). Но это противоречие.

Следовательно, доказано, что среди этих 20 различных натуральных чисел есть число, большее 500.