Question

На доску выписали 20 различных натуральных чисел. Оказалось, что среди них 11 чисел делятся на 13, а 13 чисел делятся на 11. Докажите, что среди них есть число, большее 500 ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! ОЧЕНЬ СРОЧНО

Answer 1

Что мы имеем:  20 чисел, 13 из которых делятся на 11, и 11 чисел, которые делятся на 13. Логично, что есть числа, которые делятся на 13 и на 11. Их 13+11-20=4 числа.  Значит они все делятся на 143. Поскольку это число непарное, то при умножении на не целое число дают остачу, а нам надо целые и натуральные числа, значит умножаем 143 на минимальные натуральные числа.  Минимальное с таких "особенных чисел 143,второе - 286(143*2)(2 - следующее целое число после 1.),третье - 143*3=429,а четвертое - 143*4=572,что явно больше 500 Доказано.

Answer 2

т.к. 13 чисел делится на 11, и 11 делятся на 13, а всего 20 чисел, то

(11 + 13) - 20 = 4 (числа) делятся и на 11 и на 13

наименьшие натуральные числа, которые делятся и на 11 и на 13:

143, 286, 429, 572

т.к. это наименьшие, то число 572 либо большее число обязательно есть

Что и требовалось доказать.

Answer 3

Давайте докажем, что среди этих 20 чисел есть хотя бы одно, большее 500.

Известно, что среди 20 чисел есть 11 чисел, которые делятся на 13. Давайте обозначим эти числа как a_1, a_2, ..., a_11, где a_1 < a_2 < ... < a_11.

Также известно, что среди этих 20 чисел есть 13 чисел, которые делятся на 11. Обозначим их как b_1, b_2, ..., b_13, где b_1 < b_2 < ... < b_13.

Теперь мы знаем, что a_1, a_2, ..., a_11 - это кратные 13 числа, и b_1, b_2, ..., b_13 - это кратные 11 числа. Поскольку наша цель - найти число, большее 500, давайте рассмотрим число 500. Если это число делится и на 11, и на 13, то оно удовлетворяет обоим условиям. Давайте проверим, делится ли 500 и на 11, и на 13.

500 не делится на 11, так как 500 = 45 * 11 + 5.

500 также не делится на 13, так как 500 = 38 * 13 + 6.

Теперь мы видим, что 500 не удовлетворяет ни одному из условий. Теперь мы знаем, что число 500 не входит в наши списки a_1, a_2, ..., a_11 и b_1, b_2, ..., b_13. Следовательно, оно не входит в список 20 различных натуральных чисел.

Так как 500 не является одним из этих 20 чисел, остается 19 чисел. Из них 11 чисел делятся на 13, и 13 чисел делятся на 11. Однако 500 не делится ни на 11, ни на 13, поэтому среди оставшихся 19 чисел хотя бы одно должно быть больше 500. Таким образом, мы доказали, что среди данных 20 чисел есть число, большее 500.