Question

При каких значениях уравнение x^2+5x+16+c^2=0 имеет корни разных знаков? Подробное решение,пожалуйста!

Answer 1

Если корни разных знаков, значит произведение этих корней должно быть меньше нулю (так как + на - дает -)

по теореме Виета: произведение приведенного квадратного уравнения равняется 3-му коэффициенту, то есть

$x_1*x_2=16+c^2$

Для ответа на вопрос, необходимо условие:

$x_1*x_2 \ \ 16+c^2 \ \ c^2$

Но полученное неравенства решений не имее, так как квадрат любого числа всегда ≥0

Отсюда следует вывод, что нет таких "с"

$OTBET: \ c \in \O$

P.S. возможно, Вы где-то опечатались в условии

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x^2 + 5x + 16 + c^2 = 0$ имело корни разных знаков, дискриминант этого уравнения должен быть положительным числом. Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В данном случае, у нас есть уравнение $x^2 + 5x + 16 + c^2 = 0$, поэтому $a = 1$, $b = 5$, и $c = 16 + c^2$. Теперь мы можем вычислить дискриминант:

$D = (5)^2 - 4(1)(16 + c^2) = 25 - 64 - 4c^2$

Теперь мы хотим, чтобы этот дискриминант был положительным числом, так как это означает, что уравнение имеет два корня разных знаков. Таким образом, нам нужно найти значения $c$, при которых $D > 0$.

$25 - 64 - 4c^2 > 0$

Сначала упростим это неравенство:

$-39 - 4c^2 > 0$

Теперь добавим 39 к обеим сторонам:

$-4c^2 > 39$

И затем поделим обе стороны на -4, помним, что при делении на отрицательное число неравенство меняет знак:

$c^2 < -39/4$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон. Обратите внимание, что $c^2$ всегда неотрицательно, поэтому нам нужно, чтобы правая сторона стала положительной. Однако -39/4 отрицательно, поэтому это неравенство не имеет решений в действительных числах.

Итак, уравнение $x^2 + 5x + 16 + c^2 = 0$ не имеет корней разных знаков при любых значениях $c$, так как дискриминант всегда отрицателен.