Question

Город имеет три независимо работающих источника электроэнергии. Вероятность отказа каждого из них соответственно равны 0,05; 0,08 и 0,065. Найти вероятность того, что город останется без электроэнергии, если для этого достаточно: а) чтобы отказал хотя бы один из источников электроэнергии; б) отказа двух из них.

Answer 1

Вероятность без отказа каждого из них соответственно равны 0.95, 0.92, 0.935 (вероятность противоположного события).

а) Посчитаем сначала вероятность того, что все три источника электроэнергии работают без отказа:   $p_1=0.95\cdot0.92\cdot0.935=0.81719$

Тогда вероятность отказа хотя бы один из источников электроэнергии равна  $P=1-P_1=1-0.81719=0.18281$

б) Это можно записать по теореме сложения. Отказ двух из источников можно рассмотреть как отказы: 1 и 2, или 1 и 3 или 2 и 3

Искомая вероятность:  $p^*=0.05\cdot0.08\cdot0.935+0.05\cdot0.92\cdot0.065+0.95\cdot0.08\cdot0.065=0.01167$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторику и вероятности.

а) Чтобы найти вероятность того, что город останется без электроэнергии, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один из источников электроэнергии, мы можем воспользоваться дополнительной вероятностью (вероятностью противоположного события) и вычесть ее из 1.

Пусть A1, A2 и A3 - события отказа первого, второго и третьего источника соответственно.

Вероятность отказа каждого источника: P(A1) = 0.05 P(A2) = 0.08 P(A3) = 0.065

Вероятность работы каждого источника (неотказа): P(A1') = 1 - P(A1) = 1 - 0.05 = 0.95 P(A2') = 1 - P(A2) = 1 - 0.08 = 0.92 P(A3') = 1 - P(A3) = 1 - 0.065 = 0.935

Теперь мы можем найти вероятность того, что все источники не выйдут из строя: P(Все источники работают) = P(A1' ∩ A2' ∩ A3') = P(A1') * P(A2') * P(A3') = 0.95 * 0.92 * 0.935

Теперь мы можем найти вероятность того, что хотя бы один из источников выйдет из строя, используя дополнительную вероятность: P(Хотя бы один выйдет из строя) = 1 - P(Все источники работают)

b) Чтобы найти вероятность того, что город останется без электроэнергии, если для этого достаточно отказа двух из источников электроэнергии, мы можем использовать комбинаторику. Мы можем выбрать 2 источника из 3 и найти вероятность их отказа, а также вероятность работоспособности третьего источника. Затем, мы умножим эти вероятности.

P(Два из трех отказали) = C(3, 2) * P(A1) * P(A2) * P(A3') = 3 * 0.05 * 0.08 * 0.935

Теперь у нас есть вероятность отказа двух источников.

Итак: a) P(Хотя бы один выйдет из строя) = 1 - P(Все источники работают) b) P(Два из трех отказали)

Теперь мы можем рассчитать эти вероятности.