Question

Устройство содержит 3 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элементов соответственно равна p1, p2 и p3. Найти вероятность отказа: отказ ровно одного элемента; отказ ровно двух элементов; отказ ровно трех элемента; ни один элемент не отказал; отказал хотя бы один элемента; p1 = 0.7 p2 = 0.4 p3 = 0.5

Answer 1

Так как события независимые, то вероятность независимых событий равна произведению их вероятностей.

1) Вероятность отказа ровно одного элемента:

$P=p_1(1-p_2)(1-p_3)+(1-p_1)p_2(1-p_3)+(1-p_1)(1-p_2)p_3=\\ =0{,}7\cdot 0{,}6\cdot 0{,}5+0{,}3\cdot 0{,}4\cdot 0{,}5+0{,}3\cdot 0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}36$

2) Вероятность отказа ровно двух элементов

$P=p_1p_2(1-p_3)+(1-p_1)p_2p_3+p_1(1-p_2)p_3=0{,}41$

3) Вероятность отказа ровно трёх элементов:

$P=p_1p_2p_3=0{,}7\cdot 0{,}4\cdot 0{,}5=0{,}14$

4) Вероятность того, что ни один элемент не отказал

$P=(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)=0{,}3\cdot 0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}09$

5) Вероятность того, что среди трех элементов отказался хотя бы один элемент

$P=1-(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)=1-0{,}09=0{,}91$

Answer 2

Для решения данной задачи о вероятности отказов, мы можем использовать биномиальное распределение для каждого события. Пусть элементы обозначены как A, B и C, а их вероятности отказа как p1, p2 и p3 соответственно.

Отказ ровно одного элемента: Для A: p1 * (1 - p2) * (1 - p3) Для B: (1 - p1) * p2 * (1 - p3) Для C: (1 - p1) * (1 - p2) * p3 Общая вероятность отказа ровно одного элемента: P = p1 * (1 - p2) * (1 - p3) + (1 - p1) * p2 * (1 - p3) + (1 - p1) * (1 - p2) * p3

Отказ ровно двух элементов: Для A и B: p1 * p2 * (1 - p3) Для A и C: p1 * (1 - p2) * p3 Для B и C: (1 - p1) * p2 * p3 Общая вероятность отказа ровно двух элементов: P = p1 * p2 * (1 - p3) + p1 * (1 - p2) * p3 + (1 - p1) * p2 * p3

Отказ ровно трех элементов: Вероятность отказа всех элементов: p1 * p2 * p3

Ни один элемент не отказал (все элементы работают): Вероятность того, что ни один элемент не отказал: (1 - p1) * (1 - p2) * (1 - p3)

Отказал хотя бы один элемент: Вероятность отказа хотя бы одного элемента: 1 - вероятность того, что ни один элемент не отказал.

Теперь подставим данные значения p1 = 0.7, p2 = 0.4 и p3 = 0.5:

1. Отказ ровно одного элемента: P = 0.7 * (1 - 0.4) * (1 - 0.5) + (1 - 0.7) * 0.4 * (1 - 0.5) + (1 - 0.7) * (1 - 0.4) * 0.5

2. Отказ ровно двух элементов: P = 0.7 * 0.4 * (1 - 0.5) + 0.7 * (1 - 0.4) * 0.5 + (1 - 0.7) * 0.4 * 0.5

3. Отказ ровно трех элементов: P = 0.7 * 0.4 * 0.5

4. Ни один элемент не отказал: P = (1 - 0.7) * (1 - 0.4) * (1 - 0.5)

5. Отказал хотя бы один элемент: P = 1 - (1 - 0.7) * (1 - 0.4) * (1 - 0.5)

Вычислив эти вероятности, вы получите ответы для каждого из вопросов.