Question

(5x^4-x^3+4x^2+8)/(x^3-8) интеграл

Answer 1

$\int \frac{5x^4-x^3+4x^2+8}{x^3-8}=\int (5x-1+\frac{4x^2+40x}{(x-2)(x^2+2x+4)})dx=\\\\=\frac{5x^2}{2}-x+\int \frac{2\, dx}{x-2}+\int \frac{-4x+16}{x^2+2x+4}dx=2,5x^2-x+2ln|x-2|-\\\\-4\int \frac{(x-4)dx}{(x+1)^2+3}=2,5x^2-x+2ln|x-2|-4\int \frac{(t-5)dt}{t^2+3}=[t=x+1]=\\\\=2,5x^2-x+2ln|x-2|-2\int \frac{2t\, dt}{t^2+3}+20\int \frac{dt}{t^2+3}=[2t\, dt=d(t^2+3)]=\\\\=2,5x^2-x+2ln|x-2|-2ln|t^2+3|+\frac{20}{\sqrt3}\cdot arctg\frac{t}{\sqrt3}+C=\\\\=2,5x^2-x+2ln|x-2|-2ln|x^2+2x+4|+\frac{20}{\sqrt3}\cdot arctg\frac{x+1}{\sqrt3}+C$

$P.S.\; \; \frac{4x^2+40x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+4}\\\\4x^2+40x=Ax^2+2Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx-2C\\\\x=2:\; \; A=\frac{96}{12}=8\\\\x^2|\; 4=A+B\; ,\; \; B=4-A=-4\\x^0|\; 0=4A-2C\; ,\; \; C=2A=16\\\\\frac{4x^2+40x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{8}{x-2}+\frac{-4x+16}{x^2+2x+4}$

Answer 2

Для вычисления интеграла от выражения (5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8) / (x^3 - 8), мы сначала разложим знаменатель на множители, чтобы определить его факторизацию:

x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Теперь у нас есть разложенный знаменатель, и мы можем представить исходное выражение в виде суммы дробей с частичными дробями. Сначала разложим 5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8 на частичные дроби:

(5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8) / ((x - 2)(x^2 + 2x + 4))

= A / (x - 2) + (Bx + C) / (x^2 + 2x + 4)

Теперь нам нужно найти значения A, B и C. Умножим обе стороны на знаменатель и разрешим уравнение:

5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8 = A(x^2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2)

Раскроем скобки и соберем подобные члены:

5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8 = Ax^2 + 2Ax + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C

Теперь соберем члены с одинаковыми степенями x:

(5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8) = (A + B)x^2 + (2A - 2B + C)x + 4A - 2C

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1. Для x^2: A + B = 5 2. Для x: 2A - 2B + C = -1 3. Для константного члена: 4A - 2C = 8

С этой системой уравнений можно найти значения A, B и C. Решим ее:

1. A + B = 5 2. 2A - 2B + C = -1 3. 4A - 2C = 8

Сначала решим первое уравнение относительно A:

A = 5 - B

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

2(5 - B) - 2B + C = -1

Упростим:

10 - 2B - 2B + C = -1

Сгруппируем B-термины:

-4B + C = -1

Теперь решим третье уравнение относительно A:

4A - 2C = 8

2A - C = 4

2(5 - B) - C = 4

10 - 2B - C = 4

Сгруппируем B-термины и C-термины:

-2B - C = -6

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. -4B + C = -1 2. -2B - C = -6

Мы можем решить эту систему методом подстановки или сложением уравнений. Давайте сложим оба уравнения:

(-4B + C) + (-2B - C) = (-1) + (-6)

-6B = -7

Теперь разделим обе стороны на -6:

B = 7/6

Теперь мы можем использовать это значение B, чтобы найти C в первом уравнении:

-4(7/6) + C = -1

-28/6 + C = -1

Упростим:

-14/3 + C = -1

Добавим 14/3 к обеим сторонам:

C = -1 + 14/3

C = 11/3

Теперь у нас есть значения A, B и C:

A = 5 - B = 5 - 7/6 = 23/6

B = 7/6

C = 11/3

Теперь мы можем представить исходное выражение в виде суммы частичных дробей:

(5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8) / ((x - 2)(x^2 + 2x + 4)) = (23/6) / (x - 2) + (7/6)x / (x^2 + 2x + 4) + (11/3) / (x^2 + 2x + 4)

Теперь мы можем вычислить интеграл от этой суммы частичных дробей. Интеграл от каждой части будет следующим:

Интеграл (23/6) / (x - 2) dx = (23/6) * ln| x - 2 |

Интеграл (7/6)x / (x^2 + 2x + 4) dx = (7/12) * ln| x^2 + 2x + 4 |

Интеграл (11/3) / (x^2 + 2x + 4) dx = (11/3) * arctan(x + 1)

Теперь объединим эти интегралы и добавим произвольную постоянную C:

Интеграл [(5x^4 - x^3 + 4x^2 + 8) / (x^3 - 8)] dx = (23/6) * ln| x - 2 | + (7/12) * ln| x^2 + 2x + 4 | + (11/3) * arctan(x + 1) + C

Это будет окончательным ответом на ваш вопрос.