Question

Доказать монотонность последовательности ​

Answer 1

Пусть

${{a}_{n}}=\ln n-n\Rightarrow {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=\ln \frac{n+1}{n}-1 < 0\Leftrightarrow \frac{n+1}{n} < e\Leftrightarrow (e-1)n > 1$

Альтернативное решение

$f(x)=\ln x-x\Rightarrow f'(x)=\frac{1-x}{x} < 0,\forall x > 1\Rightarrow f\searrow$

Answer 2

Для доказательства монотонности последовательности нужно понять, как изменяются её члены по мере увеличения индексов последовательности. Существует два типа монотонности: возрастающая (неубывающая) и убывающая (невозрастающая) последовательности. Давайте рассмотрим оба случая.

1. Возрастающая (неубывающая) последовательность: Последовательность {a_n} называется возрастающей, если для любого натурального числа n верно a_n <= a_(n+1). То есть, каждый следующий член последовательности больше или равен предыдущему.

Для доказательства возрастающей монотонности последовательности, вам нужно доказать неравенство a_n <= a_(n+1) для всех n.

2. Убывающая (невозрастающая) последовательность: Последовательность {a_n} называется убывающей, если для любого натурального числа n верно a_n >= a_(n+1). То есть, каждый следующий член последовательности меньше или равен предыдущему.

Для доказательства убывающей монотонности последовательности, вам нужно доказать неравенство a_n >= a_(n+1) для всех n.

Пример монотонной последовательности: Пусть у нас есть последовательность {a_n} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Эта последовательность является возрастающей, так как каждый следующий член больше предыдущего: a_1 = 1 <= a_2 = 2, a_2 = 2 <= a_3 = 3, и так далее.

Пример немонотонной последовательности: Последовательность {a_n} = {3, 1, 4, 1, 5, ...} не является монотонной, так как она не следует ни возрастающему, ни убывающему порядку. Например, a_1 = 3 > a_2 = 1, но затем a_2 = 1 < a_3 = 4, и так далее.

Доказательство монотонности требует анализа математической формулы или условия, определенного для последовательности. Например, если у вас есть аналитическое выражение для a_n, вы можете провести анализ производной или других методов для доказательства монотонности. Если у вас есть конкретная последовательность или формула, с которой вы хотели бы получить доказательство монотонности, уточните её, и я помогу вам с доказательством.