Question

Исследуйте функцию y={x^4-2x^2,если x>0, { sin x,если(-П)<=x<=0 (это одна функция) на монотонность и экстремумы. Помогите пожалуйста!!! Желательно на листочке с оформлением))) 1 Смотреть ответ KatyaYenkova KatyaYenkova Решение: 1)у=sinx,x принадлежит [o;п] f'(x)=cosx cosx=0 x=п/2+pin,n принадлежит z найдем еще 1 точку которая принадлежит нашему отрезку если n=0 то x=П/2 принадлежит [0;п] 2)у=x^3-3x,x<0 f'(x)=3x^2-3 3x^2-3=0 3x^2=3 x^2=1 x=1 не соответствует усл. задач т. к. x<0; x=-1 В итоге у меня получилось монотонность: функция возрастает [-1;0],[п; п/2] функция убывает [o;п], [п/2;+бесконечности точки экстремума Xmax=0 тогда Ymax=3*0^2-3=-3 Xmax=п/2 тогда Ymax=1 Xmin=п тогда Ymin=0 Вот и получись точки экстремума Ymax=1 Ymin=-3.  спасибо большое))))

Answer 1

Давайте разберем задачу по порядку. Нам нужно исследовать функцию:

y = {x^4 - 2x^2, если x > 0, {sin(x), если -π ≤ x ≤ 0.

1. Найдем производную функции на каждом из интервалов, чтобы определить, когда функция возрастает и убывает.

Для интервала x > 0: y' = 4x^3 - 4x Упрощаем: y' = 4x(x^2 - 1) y' = 4x(x - 1)(x + 1)

Итак, производная равна 0 в точках x = -1, 0, 1. Изобразим их на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов:

x < -1: y' < 0 -1 < x < 0: y' > 0 0 < x < 1: y' < 0 x > 1: y' > 0

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, ∞) и убывает на интервалах (-1, 0) и (0, 1).

Для интервала -π ≤ x ≤ 0: y' = cos(x)

Функция cos(x) равна 0 в точке x = π/2 + πn, где n - целое число. Мы также знаем, что на интервале -π ≤ x ≤ 0 функция sin(x) монотонно возрастает. Значит, y' > 0 на этом интервале.

2. Найдем точки экстремума функции.

Точки экстремума функции - это точки, в которых производная равна 0 или не существует. На интервале x > 0 производная равна 0 в точках x = -1, 0, 1. Нам нужно проверить каждую из этих точек и определить, является ли она точкой максимума или минимума.

Для x = -1: y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 3 y'(-1) = -8 < 0 Значит, x = -1 является точкой максимума функции.

Для x = 0: y(0) = 0 y'(0) = 0 Мы не можем определить, является ли x = 0 точкой экстремума, поскольку для этого нужно использовать вторую производную.

Для x = 1: y(1) = 1 - 2 = -1 y'(1) = 0 Значит, x = 1 является точкой минимума функции.

На интервале -π ≤ x ≤ 0 производная не равна 0, так что точек экст