Question

Закон распределения случайной величины х задается в виде следующей таблицы х 2 5 7 8 n i 1 3 2 4 а) найдите дисперсию б) найдите среднеквадратичное отклонение с) вычислите объем данной выборки в размах

Answer 1

Ответ:

$a) ~ D = \dfrac{361}{63} \\\\ b ) ~~\sigma = 2,39 \\\\ c ) ~ N = 10 ~ , ~ R = 6$

Пошаговое объяснение:

Закон распределения случайной величины х задается в виде следующей таблицы

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{6-10} x_i&2&5 &7&8 \cline{6-10} n_i & 1&3&2&4 \cline{6-10} \end{array}$
a) Найдите дисперсию

Найдем среднее значение данной выборки :

$\overline{X} = \dfrac{1\cdot 2 + 3\cdot 5 + 2\cdot 7 + 4\cdot 8 }{1 + 3 + 2 + 4} =\dfrac{2+15 + 14 + 32}{10 }=\dfrac{63}{10} = 6,3$

Переходим к вычислению дисперсии

$\displaystyle D = \frac{n_1 (X_1 -\overline{X})^2 + n_2 \cdot (X_2 -\overline{X})^2 + \ldots +n_i (X_i - \overline{X})}{\overline{X}} = \\\\\\ = \frac{1\cdot (2 - 6,3)^2 + 3\cdot (5-6,3)^2 + 2\cdot (7-6,3)^2 + 4\cdot (8-6,3)^2}{6,3} = \\\\\\ = \frac{18,49 + 3\cdot 1,69 + 2\cdot 0,49 + 4\cdot 2,89 }{6,3} = \frac{18,49 + 5,07 + 0,98 + 11,56}{6,3 } = \\\\\ = \frac{361}{63}$

б) Найдите среднеквадратичное отклонение

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\dfrac{361}{63} } \approx 2,39$

c)  Вычислите объем данной выборки и размах

Объем выборки - это сумма всех относительных частот

N = n₁ + n₂ + n₃ + n₄ + n₅ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Размах - это разность наибольшего и наименьшего числа выборки

R = 8 - 2 = 6

#SPJ1

Answer 2

Для вычисления дисперсии, среднеквадратичного отклонения и размаха случайной величины X, нам необходимо сначала найти среднее значение (математическое ожидание) этой случайной величины. Среднее значение (M) можно найти следующим образом:

M = Σ(xi * ni) / N

где xi - значение случайной величины, ni - частота данного значения, N - общий объем выборки.

Для данной таблицы:

x: 2, 5, 7, 8 n: 1, 3, 2, 4

Сначала вычислим M:

M = (2 * 1 + 5 * 3 + 7 * 2 + 8 * 4) / (1 + 3 + 2 + 4) = (2 + 15 + 14 + 32) / 10 = 63 / 10 = 6.3

Теперь мы знаем среднее значение (M), и мы можем вычислить дисперсию (D) следующим образом:

D = Σ((xi - M)² * ni) / N

где xi - значение случайной величины, ni - частота данного значения, N - общий объем выборки, M - среднее значение.

Вычислим D:

D = ((2 - 6.3)² * 1 + (5 - 6.3)² * 3 + (7 - 6.3)² * 2 + (8 - 6.3)² * 4) / 10 D = ((16.09 * 1 + 3.29 * 3 + 0.4489 * 2 + 2.89 * 4) / 10 D = (16.09 + 9.87 + 0.8978 + 11.56) / 10 D = 38.4178 / 10 D ≈ 3.84178

Теперь вычислим среднеквадратичное отклонение (σ), которое равно корню из дисперсии:

σ = √D = √3.84178 ≈ 1.959

И, наконец, размах (range) можно найти как разницу между наибольшим и наименьшим значениями в выборке:

Размах = наибольшее значение - наименьшее значение Размах = 8 - 2 = 6

Таким образом, дисперсия случайной величины X примерно равна 3.84178, среднеквадратичное отклонение равно примерно 1.959, и размах равен 6.