Question

Теория Вероятностей! Срооочнооо!!!1!!!1! Вероятности считаем по классической модели. сумма всех вероятностей равна ЕДИНИЦЕ! В группе 12 девушек и 15 юношей. Наудачу выбрали 3-х студентов. Случайная величина Х – девушек среди 3-х выбранных. Построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения, график функции распределения случайной величины Х. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

Answer 1

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 человек нет девушек.

$P(0)=\dfrac{15\cdot14\cdot 13}{27\cdot 26\cdot 25}=\dfrac{7}{45}$

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 человек одна девушка

$P(1)=\dfrac{C^1_{12}\cdot C^2_{15}}{C^3_{27}}=\dfrac{12\cdot 105}{2925}=\dfrac{28}{65}$

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 человек 2 девушки

$P(2)=\dfrac{C^2_{12}\cdot C^1_{15}}{C^3_{27}}=\dfrac{66\cdot 15}{2925}=\dfrac{22}{65}$

Найдем вероятность того, что все выбранные человека - девушки.

$P(3)=\dfrac{12\cdot 11\cdot 10}{27\cdot 26\cdot 25}=\dfrac{44}{585}$

Ряд распределения:

Xi      0                 1                   2                3

Pi    7/45          28/65          22/65        44/585

Математическое ожидание случайной величины X:

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=0\cdot \dfrac{7}{45}+1\cdot \dfrac{28}{65}+2\cdot \dfrac{22}{65}+3\cdot \dfrac{44}{585}=\dfrac{4}{3}$

Дисперсия:

$DX=\displaystyle \sum_ix_i^2p_i-(MX)^2=0^2\cdot \dfrac{7}{45}+1^2\cdot \dfrac{28}{65}+2^2\cdot \dfrac{22}{65}+3^2\cdot \dfrac{44}{585}-\Big(\dfrac{4}{3}\Big)^2=\dfrac{80}{117}$

$\sigma_X=\sqrt{DX}=\sqrt{\dfrac{80}{117}}$

Answer 2

Давайте начнем с построения ряда распределения для случайной величины Х, которая представляет собой количество девушек среди 3-х выбранных студентов.

Пусть:

• A - событие выбора девушки
• B - событие выбора юноши

По классической модели вероятности:

• Вероятность выбора девушки: P(A) = (количество девушек) / (общее количество студентов) = 12 / (12 + 15) = 0.4444...
• Вероятность выбора юношы: P(B) = (количество юношей) / (общее количество студентов) = 15 / (12 + 15) = 0.5555...

Теперь построим ряд распределения:

Количество девушек (X)	Вероятность (P(X))
0	P(BBB) = P(B)³
1	P(ABB) + P(BAB) + P(BBA) = 3P(A)P(B)²
2	P(AAB) + P(ABA) + P(BAA) = 3P(A)²P(B)
3	P(AAA) = P(A)³

Теперь посчитаем вероятности для каждого значения X:

P(X = 0) = P(BBB) = P(B)³ ≈ 0.5555...³ ≈ 0.1715 P(X = 1) = 3P(A)P(B)² = 3 * 0.4444... * (0.5555...)² ≈ 0.444 P(X = 2) = 3P(A)²P(B) = 3 * (0.4444...)² * 0.5555... ≈ 0.296 P(X = 3) = P(AAA) = P(A)³ ≈ 0.4444...³ ≈ 0.1715

Теперь построим многоугольник распределения:

yamlCopy code
      3     O
     /|\    |
    / | \   | P(X)
   /  |  \  |
  /   |   \ |
 0----1----2

Теперь давайте построим функцию распределения (CDF). Функция распределения F(X) для случайной величины X равна сумме вероятностей до данного значения X:

F(X ≤ 0) = P(X = 0) ≈ 0.1715 F(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) ≈ 0.1715 + 0.444 ≈ 0.6155 F(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.1715 + 0.444 + 0.296 ≈ 0.9125 F(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ≈ 0.1715 + 0.444 + 0.296 + 0.1715 ≈ 1.0

Теперь построим график функции распределения:

mathematicaCopy code
   1.0 |---------------------------------------O (F(X))
       |
   0.9 |                  O
       |                 /
   0.8 |                /
       |               /
   0.7 |              O
       |             /
   0.6 |            /
       |           /
   0.5 |          O
       |         /
   0.4 |        /
       |       /
   0.3 |      O
       |     /
   0.2 |    /
       |   /
   0.1 |  O
       | /
   0.0 |O---------------------------------------  (X)
       0   1   2   3

Теперь вычислим математическое ожидание (среднее), дисперсию и среднеквадратичное отклонение:

Математическое ожидание (μ): μ = Σ(X * P(X)) = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3) μ ≈ 1.333

Дисперсия (σ²): σ² = Σ((X - μ)² * P(X)) = (0 - μ)² * P(X = 0) + (1 - μ)² * P(X = 1) + (2 - μ)² * P(X = 2) + (3 - μ)² * P(X = 3) σ² ≈ 0.8889

Среднеквадратичное отклонение (σ): σ = √σ² ≈ 0.9428

Таким образом, ряд распределения, многоугольник распределения, функция распределения, график функции распределения и вычисления показателей (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение) для случайной величины X построены.