Question

Знайти рівняння прямої l1, що проходить через точку A(2; –5) і паралельна до прямої l2, що проходить через дві точки B(3; 2) та C(–4; 3). Знайти відстань від точки А до прямої l2.

Answer 1

Ответ и Пошаговое объяснение:

Перевод: Найти уравнение прямой $l1$, проходящей через точку A(2; –5) и параллельной прямой $l2$, проходящей через две точки B(3; 2) и C(–4; 3). Найти расстояние от точки А до прямой $l2$.

Информация: 1) Уравнение прямой, проходящей через точки M(x₁; y₁) и N(x₂; y₂):

$\displaystyle \tt \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}.$

2) Если прямые a₁·x+b₁·y+c₁=0 и a₂·x+b₂·y+c₂=0 параллельны, то

$\displaystyle \tt \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}.$

3) Расстояние от точки K(x₀; y₀) до прямой a·x+b·y+c=0 определяется по формуле:

$\displaystyle \tt d=\frac{|a \cdot x_0+b \cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2} } .$

Решение. Составим уравнение прямой $l2$, проходящей через точки B(3; 2) и C(–4; 3):

$\displaystyle \tt \frac{y-2}{3-2} = \frac{x-3}{-4-3} \Rightarrow \frac{y-2}{1} = \frac{x-3}{-7} \Rightarrow -7 \cdot y+14=x-3 \Rightarrow x+7 \cdot y-17=0.$

Тогда уравнение прямой $l1$, параллельной прямой $l2$ имеет вид:

$\displaystyle \tt x+7 \cdot y+c_1=0.$

Для нахождения с₁ используем точку A(2; –5):

$\displaystyle \tt 2+7 \cdot (-5)+c_1=0 \Rightarrow c_1=33.$

Значит, уравнение прямой $l1$ имеет вид:

$\displaystyle \tt x+7 \cdot y+33=0.$

Далее, расстояние от точки А(2; –5) до прямой $l2$:

$\displaystyle \tt d=\frac{|2+7 \cdot (-5)-17|}{\sqrt{1^2+7^2} }=\frac{|2-35-17|}{\sqrt{1+49} }=\frac{|-50|}{\sqrt{50} }=\frac{50}{\sqrt{50} }=\sqrt{50} .$

#SPJ1

Answer 2

Спочатку знайдемо рівняння прямої l2, яка проходить через точки B(3; 2) і C(–4; 3). Використовуючи дві точки, ми можемо знайти напрямок цієї прямої та використати точку-початок для створення рівняння.

Напрямок прямої l2 можна знайти, віднімаючи координати точки B від координат точки C:

Напрямок l2: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 2) / (-4 - 3) = 1 / (-7) = -1/7

Тепер ми можемо використовувати точку B(3; 2) для створення рівняння прямої l2 у вигляді точково-напрямкового рівняння:

y - y1 = m(x - x1)

де (x1, y1) = (3, 2) та m = -1/7.

Отже, рівняння прямої l2:

y - 2 = (-1/7)(x - 3)

Тепер знайдемо рівняння прямої l1, яка проходить через точку A(2; -5) і паралельна до прямої l2. Якщо дві прямі паралельні, то вони мають однаковий нахил (коефіцієнт m).

Отже, рівняння прямої l1 також матиме коефіцієнт нахилу -1/7 і проходитиме через точку A(2; -5). Ми можемо використовувати точково-напрямкове рівняння:

y - y1 = m(x - x1)

де (x1, y1) = (2, -5) та m = -1/7.

Рівняння прямої l1:

y - (-5) = (-1/7)(x - 2)

y + 5 = (-1/7)(x - 2)

Тепер, щоб знайти відстань від точки A(2; -5) до прямої l2, ми використовуємо формулу для відстані між точкою (x0, y0) та лінією Ax + By + C = 0:

Відстань (d) = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

У рівнянні прямої l2, A = -1/7, B = 1 і C = -3/7, тому:

d = |(-1/7)(2) + 1(-5) - 3/7| / √((-1/7)^2 + 1^2)

d = |(-2/7 - 5) - 3/7| / √(1/49 + 1)

d = |(-14/7 - 5) - 3/7| / √(1/49 + 1)

d = |(-19/7 - 3/7)| / √(1/49 + 1)

d = |-22/7| / √(1/49 + 1)

d = 22/7 / √(1/49 + 1)

d = 22/7 / √(50/49)

d = 22/7 / (√50/7)

Тепер спростимо вираз, поділивши чисельник і знаменник на 7:

d = (22/7) / (√50/7)

d = 22 / √50

Таким чином, відстань від точки A(2; -5) до прямої l2 дорівнює 22/√50 одиниць.