Question

Дана функция f(x) =1+4x+4x^2 исследовать функцию на мотонность ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x) =1+4x+4x²

Находим интервалы возрастания и убывания.

критические точки х₀ там, где f'(x₀)=0

Первая производная.

f'(x) = 8x+4

8x+4 = 0  ⇒  x = -1/2

теперь есть одна точка х₀ и два отрезка  (-∞ ;-1/2) и  (-1/2; +∞) . определим, где функция убывает а где возрастает

f'(x) < 0 -  функция убывает, f'(x) > 0 - функция возрастает

возьмем любые точки справа и слева от критической точки

отрезок  (-∞ ;-1/2)

f'(-1)= 8(-1) +4 = -4 < 0   - функция убывает,

отрезок (-1/2; +∞)

f'(0) = 4 > 0  -  функция возрастает

Answer 2

Чтобы исследовать функцию f(x) = 1 + 4x + 4x^2 на монотонность, мы должны рассмотреть производную этой функции и анализировать ее знаки на интервалах.

1. Начнем с нахождения производной функции f(x):

f'(x) = d/dx (1 + 4x + 4x^2)

Для нахождения производной, мы используем правила дифференцирования. Производная константы равна нулю, производная линейной функции 4x равна 4, а производная квадратичной функции 4x^2 равна 8x. Суммируя эти производные, получаем:

f'(x) = 0 + 4 + 8x = 4 + 8x

2. Теперь давайте найдем точки, в которых производная f'(x) равна нулю:

4 + 8x = 0

8x = -4

x = -1/2

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -1/2.

3. Теперь анализируем знаки производной на интервалах, разбивая весь диапазон значений x на несколько интервалов с использованием найденной критической точки:

I. Если x < -1/2, то 8x < -4, следовательно, f'(x) < 0.

II. Если x > -1/2, то 8x > -4, следовательно, f'(x) > 0.

III. В точке x = -1/2, производная f'(x) равна 0.

Исходя из этого анализа, мы можем сделать следующие выводы о монотонности функции f(x):

- На интервале x < -1/2, функция убывает (f'(x) < 0), что означает, что f(x) убывает.

- На интервале x > -1/2, функция возрастает (f'(x) > 0), что означает, что f(x) возрастает.

- В точке x = -1/2 производная равна 0, что может указывать на экстремум (минимум или максимум) функции f(x).

Итак, функция f(x) = 1 + 4x + 4x^2 убывает на интервале x < -1/2, возрастает на интервале x > -1/2, и имеет критическую точку в x = -1/2. Для определения, является ли это точкой минимума или максимума, необходимо провести дополнительный анализ второй производной или использовать тесты на экстремум.