Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=8 BC=4 CC1=3 найдите угол между отрезками AD1 и A1C1

Answer 1

Эта задача может решаться двумя способами: геометрическим и векторным (способ надо было указать в задании).

Геометрический.

Если мы перенесём заданный отрезок А1С1 точкой А1 в точку А, то получим плоский угол САД1 между заданными отрезками.

Решим треугольник АСД1 по теореме косинусов.

Находим длины сторон.

АС = √(4² + 8²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5.

АД1 = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Д1С = √(3² + 8²) = √(9 + 64) = √73.

cos A = (80 + 25 - 73)/(2*4√5*5) = 32/(40√5) = 0,35777.

Угол А = САД1 = arc cos 0,35777 = 1,2049 радиан или 69,0366 градуса.

Ответ:  угол между отрезками AD1 и A1C1 равен 69,0366 градуса.

Answer 2

Для того чтобы найти угол между отрезками ad1 и a1c1, нужно знать длины этих отрезков.

В данном случае у нас имеется прямоугольный параллелепипед, где ab = 8, bc = 4 и cc1 = 3.

Для начала построим треугольник ad1c1, где ad1 – диагональ основания параллелепипеда, а a1c1 – одна из трех диагоналей боковых граней.

Используя теорему Пифагора, можем найти длину отрезка ad1.

По условию, прямоугольный параллелепипед, поэтому можем использовать теорему Пифагора, для поиска длины диагонали основания:

ad1 = √(ab² + bc²) = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5.

Теперь найдем длину отрезка a1c1, используя теорему Пифагора:

a1c1 = √(ab² + cc1²) = √(8² + 3²) = √(64 + 9) = √73.

Теперь, чтобы найти угол между отрезками ad1 и a1c1, можно воспользоваться косинусовой формулой:

cos(θ) = (ad1² + a1c1² - d1c1²) / (2 * ad1 * a1c1),

где θ - искомый угол.

В данном случае, d1c1 – диагональ боковой грани, перпендикулярная a1c1 и выражается через длины ab и cc1:

d1c1 = √(ab² + cc1²) = √(8² + 3²) = √(64 + 9) = √73.

Подставляя все значения в формулу, получим:

cos(θ) = (4√5² + √73² - √73²) / (2 * 4√5 * √73), cos(θ) = (80 + 73 - 73) / (8√5 * √73), cos(θ) = 80 / (8√5 * √73), cos(θ) = 10 / (√5 * √73), cos(θ) = 10√365 / (√5 * 73), cos(θ) = 2√365 / 73.

Вычислив значение косинуса, можно найти значение угла θ:

θ = arccos(2√365 / 73).

Таким образом, угол между отрезками ad1 и a1c1 равен arccos(2√365 / 73).