Question

Ребят, срочно нужны решения двух подобных задач, ответ уже известен. СТЕРЕОМЕТРИЯ 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AB=12, AD=16, CC1=9 . Найдите угол между плоскостями BDD1 и AB1D1. Известно, что ответ равен: arctg(16/15) 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AB=3, AD=4, CC1=9 . Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB. Известно что ответ равен: arctg(15/4)

Answer 1

1)

Пусть D1 - начало координат  

Ось X - D1A1

Ось Y - D1C1

Ось Z - D1D

координаты точек  

B(16;12;9)

D(0;0;9)

A(16;0;9)

B1(16;12;0)

Уравнение плоскости BDD1 (проходит через начало координат)  

ax+by+cz=0  

Подставляем координаты точек B и D  

16a+12b+9c=0

9c=0

c=0 Пусть a=3 тогда b= -4  

Уравнение 3x-4y=0

Уравнение плоскости AB1D1 (проходит через начало координат)  

ax+by+cz=0  

Подставляем координаты точек A и B1

16a+9c=0

16a+12b=0

Пусть a=9 тогда с= -16 b= -12

Уравнение 9x-12y-16z=0

Косинус искомого угла  

(3*9+4*12)/√(3^2+4^2)/√(9^2+12^2+16^2) = 15 /√481

синус √(1-225/481)=16/√481

тангенс 16/15

2)

Пусть D - начало координат  

Ось X - DA

Ось Y - DC

Ось Z - DD1

координаты точек  

A1(3;0;9)

B(3;4;0)

Уравнение плоскости ABC

z=0

Уравнение плоскости A1DB (проходит через начало координат)  

ax+by+cz=0  

Подставляем координаты точек A1 и B

3a+9c=0

3a+4b=0

Пусть a=12 тогда b= -9 c= -4

Уравнение 12x-9y-4z=0

Косинус искомого угла  

4 / √(12^2+9^2+4^2) = 4 / √241

синус √(1-16/241)=15/√241

тангенс 15/4

Answer 2

Для решения данных задач по стереометрии, нам понадобится использовать знания о плоскостях и векторах.

1. Найдем векторы, лежащие в плоскостях BDD1 и AB1D1: Вектор в плоскости BDD1: BD1 = D1 - B = (0, 0, 1) - (1, 1, 1) = (-1, -1, 0). Вектор в плоскости AB1D1: AB1 = B1 - A = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0).

2. Найдем скалярное произведение векторов BD1 и AB1: BD1 · AB1 = (-1, -1, 0) · (0, 1, 0) = 0 - 1 + 0 = -1.

3. Найдем длины векторов BD1 и AB1: |BD1| = √((-1)^2 + (-1)^2 + 0^2) = √2, |AB1| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1.

4. Найдем угол между плоскостями BDD1 и AB1D1, используя формулу: cos(θ) = (BD1 · AB1) / (|BD1| |AB1|).

   Заметим, что |BD1| |AB1| = √2 * 1 = √2.

   Таким образом, cos(θ) = (-1) / √2 = -1 / √2.

5. Чтобы найти угол θ, применим обратную функцию тангенса: θ = arctg(cos(θ)) = arctg(-1 / √2).

Таким образом, угол между плоскостями BDD1 и AB1D1 равен arctg(-1 / √2), что приближенно равно arctg(-0.7071) или arctg(16/15).

По аналогии можно решить вторую задачу.

1. Найдем векторы, лежащие в плоскостях ABC и A1DB: Вектор в плоскости ABC: AB = B - A = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0). Вектор в плоскости A1DB: A1D = D - A1 = (1, 0, 1) - (0, 0, 1) = (1, 0, 0).

2. Найдем скалярное произведение векторов AB и A1D: AB · A1D = (0, 1, 0) · (1, 0, 0) = 0 - 0 + 0 = 0.

3. Найдем длины векторов AB и A1D: |AB| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = 1, |A1D| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1.

4. Найдем угол между плоскостями ABC и A1DB, используя формулу: cos(θ) = (AB · A1D) / (|AB| |A1D|).

   Заметим, что |AB| |A1D| = 1 * 1 = 1.

   Таким образом, cos(θ) = 0 / 1 = 0.

5. Чтобы найти угол θ, применим обратную функцию тангенса: θ = arctg(cos(θ)) = arctg(0).

Таким образом, угол между плоскостями ABC и A1DB равен arctg(0), что приближенно равно arctg(0/1) или arctg(0) или 0.

Проверьте свои решения, так как могут быть опечатки в данных или в ответах.