Question

Стрелок при одном выстреле поражает мишень с вероятностью 0,5 . Он производит по мишени 8 выстрелов. Найти вероятность того, что: а) мишень будет поражена ровно 6 раз; б) мишень будет поражена менее 6 раз.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$P_1 = C_8^6(0,5)^6*(1-0,5)^2=\dfrac{28}{256} =\dfrac{7}{64}\\\\P_2=1-C_8^6*(0,5)^8-C_8^7*0,5^8-C_8^8*0,5^8=1-\dfrac{28+8+1}{256} =\\\\=\dfrac{219}{256}$

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать биномиальное распределение, так как у нас есть определенное количество испытаний (8 выстрелов) и вероятность успеха в каждом из них (0,5 - вероятность поражения мишени).

а) Вероятность поражения мишени ровно 6 раз можно найти с помощью формулы биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где: P(X = k) - вероятность того, что мишень будет поражена ровно k раз. n - количество испытаний (выстрелов), в данном случае 8. k - количество успешных испытаний (поражений мишени), в данном случае 6. p - вероятность успеха в каждом испытании, в данном случае 0,5.

C(8, 6) - количество сочетаний из 8 по 6, вычисляется как C(8, 6) = 28.

Теперь можем вычислить вероятность:

P(X = 6) = C(8, 6) * (0,5)^6 * (1 - 0,5)^(8 - 6) P(X = 6) = 28 * 0,5^6 * 0,5^2 P(X = 6) = 28 * 0,015625 * 0,25 P(X = 6) = 0,109375

б) Чтобы найти вероятность того, что мишень будет поражена менее 6 раз, нужно сложить вероятности поражения 0, 1, 2, 3, 4 и 5 раз, так как "менее 6" включает в себя все эти случаи:

P(X < 6) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Мы уже знаем, как вычислить P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) и P(X = 5), так как это просто другие значения для биномиального распределения.

P(X < 6) = 0,00390625 + 0,03125 + 0,109375 + 0,21875 + 0,2734375 + 0,24609375 P(X < 6) ≈ 0,8828125

Итак, вероятность того, что мишень будет поражена менее 6 раз, составляет приблизительно 0,8828125.