Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 1/x, y=x/4 ,x=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x, y = x/4 и x = 1, нам нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения этих линий:

1. Для y = 1/x и y = x/4: 1/x = x/4

   Умножим обе стороны на 4x, чтобы избавиться от дробей: 4 = x^2

   Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон: x = 2

   Таким образом, x = 2 - это точка пересечения.

2. Для x = 1 и y = 1/x: y = 1/1 y = 1

   Таким образом, точка пересечения для x = 1 и y = 1/x - это (1, 1).

Теперь у нас есть две точки пересечения: (1, 1) и (2, 0.5).

Чтобы вычислить площадь фигуры между этими линиями, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь будет равна интегралу от функции y = 1/x до функции y = x/4 от x = 1 до x = 2:

$S = \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4}\right) dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4}\right) dx = \left[\ln|x| - \frac{x^2}{8}\right]_{1}^{2} = \left(\ln(2) - \frac{2^2}{8}\right) - \left(\ln(1) - \frac{1^2}{8}\right)$

$S = \left(\ln(2) - \frac{4}{8}\right) - \left(0 - \frac{1}{8}\right) = \left(\ln(2) - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{8} = \ln(2) - \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x, y = x/4 и x = 1, равна:

$S = \ln(2) - \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$