Question

Найти интеграл ∫ 3a du дробь sin² u

Answer 1

111111111111111111111111111111111111111111111

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫ 3a du / sin²(u), можно воспользоваться тригонометрической заменой. Давайте представим sin²(u) в виде разности:

sin²(u) = 1 - cos²(u)

Теперь проведем замену:

Пусть z = cos(u), тогда dz = -sin(u) du.

Исходный интеграл становится:

∫ (3a du) / (1 - z²)

Далее, используем частное дроби для разложения на два интеграла:

∫ (3a du) / (1 - z²) = 3a * ∫ (du / (1 - z²))

Теперь, чтобы интегрировать du / (1 - z²), используем частичную дробь:

1 / (1 - z²) = (1/2) * (1 / (1 - z)) - (1/2) * (1 / (1 + z))

Теперь мы можем интегрировать каждую из дробей:

∫ (du / (1 - z²)) = (1/2) * ∫ (du / (1 - z)) - (1/2) * ∫ (du / (1 + z))

Интегралы от каждой из этих дробей легко находятся:

(1/2) * ∫ (du / (1 - z)) = (1/2) * ln|1 - z| + C1 (1/2) * ∫ (du / (1 + z)) = (1/2) * ln|1 + z| + C2

Где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Теперь объединим все вместе:

∫ (3a du) / (1 - z²) = (1/2) * ln|1 - z| - (1/2) * ln|1 + z| + C

Теперь вернемся к исходной переменной u:

∫ (3a du) / sin²(u) = (1/2) * ln|1 - cos(u)| - (1/2) * ln|1 + cos(u)| + C

Это и есть окончательный ответ.