Question

Заметив, что 1/(k(k + 1)) = 1/k - 1/(k + 1) вычислите 1/(1 * 2) + 1/(2 * 3) + 1/(3 * 1) +...+ 1 2014*2015 .​

Answer 1

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2014\cdot2015}=\bigg(1-\frac{1}{2}\bigg)+\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\bigg)+\bigg(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\bigg)+...\\\\\\+\bigg(\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\bigg)+\bigg(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\bigg)=1-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}$

Answer 2

Для вычисления суммы данного ряда, вы можете воспользоваться сокращением членов ряда:

1/(k(k + 1)) = 1/k - 1/(k + 1)

Теперь давайте рассмотрим ряд:

1/(1 * 2) + 1/(2 * 3) + 1/(3 * 4) + ... + 1/(2014 * 2015)

Используя выражение выше, мы можем сократить члены ряда следующим образом:

1/(1 * 2) - 1/(2 * 3) + 1/(2 * 3) - 1/(3 * 4) + 1/(3 * 4) - ... + 1/(2014 * 2015)

Заметьте, что все промежуточные члены ряда сокращаются, и остаются только первый и последний члены ряда:

1/(1 * 2) - 1/(2014 * 2015)

Теперь давайте вычислим каждый из этих членов:

1/(1 * 2) = 1/2 1/(2014 * 2015) = 1/(2014 * 2015)

Теперь мы можем сложить эти два члена:

1/2 - 1/(2014 * 2015)

Для полного вычисления суммы ряда, вам нужно сложить все эти члены. Теперь, когда у нас есть общая формула для каждого члена, мы можем вычислить сумму:

Сумма = (1/2 - 1/(2014 * 2015))

Теперь осталось просто вычислить это выражение:

Сумма = 1/2 - 1/(2014 * 2015)

Сумма = (2014 * 2015 - 1) / (2 * 2014 * 2015)

Сумма = (4064090 - 1) / 4027090

Сумма = 4064089 / 4027090

Это и есть окончательный ответ для суммы данного ряда:

Сумма = 4064089 / 4027090

Вы можете оставить ответ в этой дробной форме или приблизить его до десятичного значения, если это необходимо.