Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y''+9y=3 sin x

Answer 1

Вроде так. Решается с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' + 9y = 3sin(x), мы можем воспользоваться методом характеристического уравнения и методом вариации постоянных.

1. Характеристическое уравнение: Уравнение имеет вид y'' + 9y = 0. Характеристическое уравнение определяется следующим образом: r^2 + 9 = 0

Решим это уравнение, чтобы найти корни r: r^2 = -9 r = ±√(-9) r = ±3i

Таким образом, характеристическое уравнение имеет комплексные корни: r1 = 3i и r2 = -3i.

2. Общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения (без правой части) имеет вид: y_h(x) = c1cos(3x) + c2sin(3x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

3. Частное решение неоднородного уравнения: Для нахождения частного решения неоднородного уравнения, мы используем метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид: y_p(x) = Acos(x) + Bsin(x).

Теперь найдем производные y_p: y_p'(x) = -Asin(x) + Bcos(x), y_p''(x) = -Acos(x) - Bsin(x).

Подставим y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в неоднородное уравнение: -y_p''(x) + 9y_p(x) = -(-Acos(x) - Bsin(x)) + 9(Acos(x) + Bsin(x)) = (A + B)cos(x) + (B - A)sin(x).

Теперь приравняем это к правой части неоднородного уравнения: (A + B)cos(x) + (B - A)sin(x) = 3sin(x).

Сравнивая коэффициенты при синусе и косинусе, мы получаем следующую систему уравнений: A + B = 0, B - A = 3.

Решая эту систему, найдем значения A и B: A = -1.5, B = 1.5.

4. Общее решение неоднородного уравнения: Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = (c1cos(3x) + c2sin(3x)) + (-1.5cos(x) + 1.5sin(x)) y(x) = c1cos(3x) + c2sin(3x) - 1.5cos(x) + 1.5sin(x).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' + 9y = 3sin(x) выглядит следующим образом: y(x) = c1cos(3x) + c2sin(3x) - 1.5cos(x) + 1.5sin(x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.