Question

Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) у точці з абсцисою х0, якщо f(x) = x⁴ + x³ - 3x, x0= 2.

Answer 1

Уравнение касательной:

$y = f( x_{0}) + f'( x_{0})(x - x_{0})$

1) Найдем производную функции используя формулы:

$(u + v + ... + w)' = u' + v' + ... + w' \\ ( {x}^{n} )' = n {x}^{n - 1} \\ (cx)' = c$

Тогда:

$f'(x) = ( {x}^{4} + {x}^{3} - 3x)' = ( {x}^4)' + ({x}^{3} )' + (3x)' = 4 {x}^{3} + 3 {x}^{2} - 3$

2)Найдем значение функции в точке х0:

$f(2) = {2}^{4} + {2}^{3} - 3 \times 2 = 18$

3) Найдем значение производной функции в точке х0:

$f'(2) = 4 \times {2}^{3} + 3 \times {2}^{2} - 3 = 41$

4) Подставим значения в формулу:

$y = 18 + 41(x - 2) = 18 + 41x - 82 = 41x - 64$

Ответ: 41х-64

Answer 2

Щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x) у точці з абсцисою x0 = 2, спершу знайдемо похідну функції f(x). Похідна функції f(x) визначає швидкість зміни функції в кожній точці.

f(x) = x^4 + x^3 - 3x

f'(x) - це похідна функції f(x):

f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 3

Тепер ми можемо знайти значення похідної у точці x0 = 2:

f'(2) = 4(2^3) + 3(2^2) - 3 f'(2) = 32 + 12 - 3 f'(2) = 41 - 3 f'(2) = 38

Отже, похідна функції f(x) у точці x0 = 2 дорівнює 38.

Тепер ми можемо скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x) в точці (2, f(2)) з використанням формули для рівняння прямої:

y - y0 = m(x - x0)

де (x0, y0) - точка, в якій ми шукаємо дотичну, m - нахил дотичної, який дорівнює значенню похідної f'(2), і (x, y) - загальна точка на дотичній. Знаючи, що x0 = 2, y0 = f(2) і m = 38, отримуємо:

y - f(2) = 38(x - 2)

Тепер ми можемо підставити значення f(2):

y - (2^4 + 2^3 - 3*2) = 38(x - 2)

y - (16 + 8 - 6) = 38(x - 2)

y - 18 = 38(x - 2)

Отже, рівняння дотичної до графіка функції f(x) у точці (2, f(2)) виглядає так:

y = 38(x - 2) + 18