Question

Площадь прямоугольного участка 100 м2. При каких размерах участка длина окружающего его забора будет наименьшей?

Answer 1

Одна сторона участка x м, другая  $\frac{100}x$. Периметр участка (длина забора) 
$P(x)=2\cdot\left(x+\frac{100}x\right)$
Найдём производную функции периметра и, приравняв её нулю, найдём значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.
$P'(x)=\left(2\cdot\left(x+\frac{100}x\right)\right)'=2-\frac{200}x\\2-\frac{200}{x^2}=0\\\frac{200}{x^2}=2\\x^2=100\\x=10$
Если одна сторона 10 м, то другая будет 100:10 = 10 м.

Наименьшая длина забора будет, если участок квадратный со стороной 10.

Answer 2

Для определения наименьшей длины окружающего забора на прямоугольном участке площадью 100 м², нужно использовать принцип оптимизации. Предположим, что одна из сторон участка имеет длину "x" метров, а другая сторона имеет длину "y" метров. Тогда площадь участка можно записать следующим образом:

xy = 100

Для нахождения наименьшей длины окружающего забора (P) мы можем использовать формулу периметра прямоугольника:

P = 2x + 2y

Теперь нам нужно выразить одну из переменных (например, "y") через другую и подставить это выражение в формулу для периметра. Для этого используем уравнение площади:

xy = 100

Теперь выразим "y" через "x":

y = 100 / x

Теперь подставим это выражение в формулу для периметра:

P = 2x + 2(100 / x)

P = 2x + 200 / x

Для нахождения минимальной длины окружающего забора, нам нужно найти значение "x," при котором производная по отношению к "x" равна нулю. Для этого найдем производную P по "x" и приравняем ее к нулю:

dP/dx = 2 - 200/x^2 = 0

Теперь решим это уравнение:

2 - 200/x^2 = 0

200/x^2 = 2

x^2 = 200/2

x^2 = 100

x = √100

x = 10 метров

Теперь, когда мы нашли значение "x," можем найти соответствующее значение "y" с использованием уравнения площади:

xy = 100

10y = 100

y = 100 / 10

y = 10 метров

Таким образом, наименьшая длина окружающего забора будет, когда длина и ширина участка равны 10 метрам, и в этом случае длина забора будет равна:

P = 2x + 2y = 2(10) + 2(10) = 20 + 20 = 40 метров.