Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , предварительно составив рисунок . y=√x , y=0 ; x=4

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Сначала сделаем рисунок - в приложении.
А теперь площадь фигуры - это интеграл функции в пределах от 0 до 4.
y = √x
F =∫ydx = 2/3*√x³ = 2/3*х√х -и делаем подстановку пределов интегрирования
S = F(4)-F(0)
F(4) = 2/3*√64 = 2/3*8  и   F(0) = 0 и  
S = 16/3 = 5 1/3 - ОТВЕТ
Проверка 
Больше площади треугольника   s = 1/2 *(2*4) =4

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = √x, y = 0 и x = 4, мы можем использовать метод интегралов. Сначала определим интервал x, в котором находится наша фигура. Мы видим, что x изменяется от 0 до 4.

Интеграл площади фигуры можно записать следующим образом:

$S = \int_{a}^{b} (y_{\text{верхняя}} - y_{\text{нижняя}}) dx$

Где:

• a и b - границы интервала по оси x, то есть от 0 до 4 в нашем случае.
• y_верхняя - верхняя граница фигуры (в данном случае y = √x).
• y_нижняя - нижняя граница фигуры (в данном случае y = 0).

Теперь подставим значения и вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - 0) dx$

$S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} dx$

Для вычисления этого интеграла возьмем антипроизводную функции √x:

$S = \left[\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\right]_0^4$

Теперь вычислим значения на границах интервала и вычтем их:

$S = \left[\frac{2}{3}(4)^\frac{3}{2} - \frac{2}{3}(0)^\frac{3}{2}\right]$

$S = \frac{2}{3}(8 - 0)$

$S = \frac{16}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = √x, y = 0 и x = 4, равна $\frac{16}{3}$ квадратных единиц (площадных единиц).