Question

Решите уравнение x^3-2x^2-19x+20=0

Answer 1

Дано уравнение:
 x^3-2x^2-19x+20=0
преобразуем
−19x+−2x2+x3−1+2+19=0−19x+−2x2+x3−1+2+19=0
или
−19x+−2x2+x3−1−−2+19=0−19x+−2x2+x3−1−−2+19=0
−19(x−1)+−2(x2−1)+x3−1=0−19(x−1)+−2(x2−1)+x3−1=0
−19(x−1)+−2(x−1)(x+1)+(x−1)(x2+x+12)=0−19(x−1)+−2(x−1)(x+1)+(x−1)(x2+x+12)=0
Вынесем общий множитель -1 + x за скобки
получим:
(x−1)(−2(x+1)+x2+x+12−19)=0(x−1)(−2(x+1)+x2+x+12−19)=0
или
(x−1)(x2−x−20)=0(x−1)(x2−x−20)=0
тогда:
x1=1x1=1
и также
получаем ур-ние
x2−x−20=0x2−x−20=0
Это уравнение вида:a*x^2 + b*x + c.
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:


где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a=1
b=−1b
c=−20
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
x2=5
x3=−4
Получаем окончательный ответ для x^3 - 2*x^2 - 19*x + 20 = 0:
x1=1
x2=5
x3=−4

Answer 2

Для решения уравнения $x^3 - 2x^2 - 19x + 20 = 0$ нам нужно найти корни этого уравнения. Попробуем воспользоваться методом Рациональных корней (теоремой о рациональных корнях).

Сначала найдем все возможные рациональные корни этого уравнения. Рациональные корни могут быть представлены в виде $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель свободного члена (20), а $q$ - делитель старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные рациональные корни:

$\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$

Теперь мы будем использовать метод перебора, чтобы найти, какие из этих возможных корней действительно являются корнями уравнения.

Попробуем $x = 1$:

$$(1)^3 - 2(1)^2 - 19(1) + 20 = 1 - 2 - 19 + 20 = 0$$

$x = 1$ является корнем уравнения.

Следовательно, $x - 1$ является одним из множителей уравнения.

Давайте разделим исходное уравнение на $x - 1$, используя синтетическое деление или деление полиномов:

$$(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) / (x - 1) = x^2 - x - 20$$

Теперь у нас есть уравнение второй степени $x^2 - x - 20 = 0$, которое мы можем решить с использованием квадратного уравнения:

$$x^2 - x - 20 = 0$$

Факторизуем это уравнение:

$$(x - 5)(x + 4) = 0$$

Из этого уравнения получаем два корня:

1. $x - 5 = 0$ => $x = 5$
2. $x + 4 = 0$ => $x = -4$

Таким образом, у нас есть три корня уравнения:

1. $x = 1$
2. $x = 5$
3. $x = -4$