Question

Решить уравнение sin 2x=3(sinx +cos x-1)

Answer 1

SIN3X-SINX=2SIN3X-X/2COS3X+X/2=2SINXCOS2X

2SINXCOS2X+C0S2X=1

2SINXCOS2X=1-COS^2X+SIN^2X

2SINXCOS2X=0

SINX=0 COS2X=0

1)SINX=0

X=ПИ*П

2) СОs2X=0

2X=PI/2+PN

X=PI/4+PN/2

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом. У нас есть:

$\sin(2x) = 3(\sin(x) + \cos(x) - 1)$

Используем тригонометрические тождества, чтобы преобразовать выражения:

$\sin(2x) = 3\sin(x) + 3\cos(x) - 3$

Используем тождество $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$2\sin(x)\cos(x) = 3\sin(x) + 3\cos(x) - 3$

Переносим все члены в левую часть уравнения:

$2\sin(x)\cos(x) - 3\sin(x) - 3\cos(x) + 3 = 0$

Теперь преобразуем выражение, используя формулы двойного угла:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$

$\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x)$

$\sin(x) = \sin(x)(2\cos(x) - 1)$

$\sin(x) - \sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0$

$\sin(x)(1 - 2\cos(x) + 1) = 0$

$2\sin(x)(1 - \cos(x)) = 0$

Теперь у нас есть две возможности:

1. $\sin(x) = 0$
2. $1 - \cos(x) = 0$

Для первого случая:

$\sin(x) = 0$

Это имеет бесконечно много решений вида $x = n\pi$, где $n$ - целое число.

Для второго случая:

$1 - \cos(x) = 0$

$\cos(x) = 1$

Это имеет единственное решение $x = 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Итак, собрав все решения, получаем:

$x = n\pi$ для всех целых $n$ и $x = 2\pi k$ для всех целых $k$.