Question

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $\displaystyle 331$. Чему равен куб суммы этих чисел?

Answer 1

Задание № 1:

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 331. Чему равен куб суммы этих чисел?

(x+1)^3-x^3=331

x^3+3x^2+3x+1-x^3=331

3x^2+3x-330=0

x^2+x-110=0

D=1+440=441

x=(-1-21)/2 - не натуральное

x=(-1+21)/2=10

х+1=11

(10+11)^3=9261

ответ: 9261

Answer 2

Пусть первое натуральное число равно $\displaystyle x$. Тогда второе натуральное число будет $\displaystyle x+1$.

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел можно выразить следующим образом:

$\displaystyle ( x+1)^{3} -x^{3} =331$

Раскроем разность кубов по формуле $\displaystyle a^{3} -b^{3} =( a-b)( a^{2} +ab+b^{2})$:

$\displaystyle ( x+1)^{3} -x^{3} =( x+1-x)( x^{2} +( x+1)x+1^{2}) =x( x^{2} +x+x^{2} +x+1) =x( 2x^{2} +2x+1)$

Теперь у нас есть уравнение:

$\displaystyle x( 2x^{2} +2x+1) =331$

Раскроем скобки в левой части уравнения и упростим его:

$\displaystyle 2x^{3} +2x^{2} +x=331$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$\displaystyle 2x^{3} +2x^{2} +x-331=0$

Теперь мы имеем кубическое уравнение. Однако, его решение можно найти численно, например, с помощью метода Ньютона или других численных методов. Если вы используете программу или калькулятор, вы можете найти корни этого уравнения, и тогда у вас будет значение $\displaystyle x$. Затем, используя это значение, вы сможете найти куб суммы этих чисел $\displaystyle x+( x+1)$ и ответить на вопрос.