Question

Исследуйте функцию и постройте её график f(x)=x⁴-2x² 1) Область определения и область значения Ограничений нет. Значит D(f)=R. E(f)=R 2) точки пересечения с осями координат \displaystyle f(x)=0\\x^4-2x^2=0\\x^2(x^2-2)=0\\x_1=0; x_2= \sqrt{2}; x_3=- \sqrt{2} __+___-√2__-___0__-___ √2__+___ f(x)>0 f(x)<0 f(x)<0 f(x)>0 \displaystyle f(0)=0 точки пересечения с Оу (0;0) точки пересечения с Ох (0;0); (-√2;0) (√2;0) 3) четность или нечетность \displaystyle f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2=x^4-2x^2=f(x) функция четная 4) точки максимума и минимума \displaystyle f`(x)=(x^4-2x^2)`=4x^3-4x \displaystyle f`(x)=0\\4x(x^2-1)=0\\x_1=0; x_2=1; x_3=-1 __-___ -1 ____+_____0__-__-1___+___ убывает/ возрастает/ убывает/ возрастает Значит х=-1 и х=1 точки минимума х=0 точка максимума f(-1)=f(1)=-1 f(0)=0 5) точки перегиба \displaystyle f``(x)=(4x^3-4x)`=12x^2-4 \displaystyle f``(x)=0\\12x^2-4=0\\12x^2=4\\x^2=1/3\\x_1=1/ \sqrt{3}; x_2= -1/ \sqrt{3} ___+____ - 1/√3____-______1/√3___+_ вогнутая выпуклая вогнутая (Пж срочно нужно помощь можете объяснить )

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Правильно, вы провели все необходимые шаги и получили правильные ответы. График функции f(x)=x⁴-2x², который выстроен на основе ваших вычислений, также выглядит правильным.

Answer 2

Разберем по шагам:

1. Область определения функции f(x) не ограничена, то есть любое действительное число может быть подставлено в качестве аргумента функции. Таким образом, область определения функции f(x) равна R (множество всех действительных чисел).

2. Чтобы найти точки пересечения с осями координат, мы должны найти значения x, при которых функция f(x) равна 0:

f(x) = x^4 - 2x^2 = 0

Факторизуем это выражение:

x^2(x^2 - 2) = 0

Отсюда получаем два возможных случая:

x^2 = 0 => x = 0 x^2 - 2 = 0 => x^2 = 2 => x = ±√2

Таким образом, точки пересечения с осями координат: (0, 0), (-√2, 0) и (√2, 0).

3. Чтобы определить четность или нечетность функции, мы заменяем x на -x и сравниваем полученное выражение с исходной функцией:

f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)

Поскольку f(-x) = f(x), функция f(x) является четной.

4. Чтобы найти точки максимума и минимума, мы должны найти значения x, при которых производная функции f'(x) равна 0:

f'(x) = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x

Решим уравнение f'(x) = 0:

4x(x^2 - 1) = 0

Это уравнение имеет три решения: x = 0, x = 1 и x = -1.

Чтобы определить, является ли точка экстремума максимумом или минимумом, можно проанализировать знаки производной f'(x) в окрестностях этих точек:

Для x < -1: f'(x) < 0 (убывает) Для -1 < x < 0: f'(x) > 0 (возрастает) Для 0 < x < 1: f'(x) < 0 (убывает) Для x > 1: f'(x) > 0 (возрастает)

Таким образом, x = -1 и x = 1 являются точками минимума, а x = 0 является точкой максимума. Значение функции в этих точках: f(-1) = f(1) = -1, f(0) = 0.

5. Чтобы найти точки перегиба