Question

Интеграл 4x+3/(x-2)^3 dx методом подстановки

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(4x + 3)/(x - 2)^3 dx методом подстановки, мы можем воспользоваться заменой переменных. Давайте проведем шаги этой замены.

Пусть u = x - 2. Тогда dx = du.

Теперь мы можем заменить x и dx в интеграле:

∫(4x + 3)/(x - 2)^3 dx = ∫(4(u + 2) + 3)/u^3 du = ∫(4u + 11)/u^3 du

Теперь давайте разделим числитель на u^3 и разобьем интеграл на две части:

∫(4u/u^3 + 11/u^3) du = ∫(4/u^2 + 11/u^3) du

Теперь мы можем вычислить каждый из этих интегралов по отдельности:

∫(4/u^2) du = 4∫(1/u^2) du = 4*(-1/u) + C1 = -4/u + C1

∫(11/u^3) du = 11∫(1/u^3) du = 11*(-1/(2u^2)) + C2 = -11/(2u^2) + C2

Теперь мы можем объединить результаты и вернуться к исходной переменной x:

∫(4x + 3)/(x - 2)^3 dx = (-4/u + C1) - (11/(2u^2) + C2) = -4/(x - 2) + 11/(2(x - 2)^2) + C

Итак, интеграл ∫(4x + 3)/(x - 2)^3 dx равен:

-4/(x - 2) + 11/(2(x - 2)^2) + C, где C - произвольная константа.