Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y= -x^2-2x касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой х0= -2 и осью ординат.

Answer 1

Берется определённый интеграл

.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 - 2x, касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой x0 = -2, и осью ординат, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Первым шагом будет найти уравнение касательной.

Уравнение касательной можно записать в следующем виде:

y - y0 = m(x - x0),

где (x0, y0) - точка, в которой проводится касательная, а m - её угловой коэффициент.

В данном случае, x0 = -2, и мы хотим провести касательную к параболе в этой точке. Для нахождения углового коэффициента m, давайте найдем производную функции y = -x^2 - 2x и подставим x0:

y'(x) = d/dx (-x^2 - 2x) = -2x - 2.

Теперь подставим x0 = -2:

m = y'(-2) = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2.

Таким образом, уравнение касательной в точке (-2, y0) имеет вид:

y - y0 = 2(x + 2).

Далее, чтобы найти точку пересечения этой касательной с осью ординат (где x = 0), мы подставляем x = 0 в уравнение касательной:

y0 = 2(0 + 2) = 2 * 2 = 4.

Таким образом, точка пересечения касательной с осью ординат имеет координаты (0, 4).

Теперь мы имеем две точки: (-2, y0) и (0, 4), которые определяют прямоугольник, ограничивающий фигуру. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем вычислить разницу между площадью прямоугольника и площадью области под параболой между -2 и 0.

Площадь прямоугольника: S_rectangle = (0 - (-2)) * (4 - y0) = 2 * (4 - y0).

Теперь найдем площадь области под параболой между -2 и 0. Для этого проинтегрируем функцию y = -x^2 - 2x от -2 до 0:

S_parabola = ∫[from -2 to 0] (-x^2 - 2x) dx.

Интегрируя это выражение, получим:

S_parabola = [-x^3/3 - x^2] | (от -2 до 0) S_parabola = [-(0) - 0^2] - [(-(-2)^3/3 - (-2)^2)] S_parabola = [0 - 0] - [(-(-8/3) - 4)] S_parabola = 8/3 - 4 = 8/3 - 12/3 = -4/3.

Теперь мы можем найти площадь фигуры:

S = S_rectangle - S_parabola = (2 * (4 - y0)) - (-4/3) S = 8 - 2y0 + 4/3.

Исходя из того, что y0 = 4, мы можем подставить это значение:

S = 8 - 2(4) + 4/3 S = 8 - 8 + 4/3 S = 0 + 4/3 S = 4/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 - 2x, касательной, проведенной в точке (-2, 4), и осью ординат, равна 4/3 квадратных единицы.