Question

Вычисли интеграл, сделав подходящую замену ∫cos(x−6)/9+sin2(x−6)dx

Answer 1

$\int\ {\cos( \frac{x-6}{9})+\sin2(x-6) } \, dx= \int { {\cos( \frac{x-6}{9})} \, dx+ \int {\sin2(x-6) } \, dx$

Сделаем замену:  $x-6=t$, при этом  $\frac{dt}{dx}=1 \Leftrightarrow dt=dx$

После замены:  $\int { {\cos( \frac{t}{9})} \, dt+ \int {\sin2t } \, dt=9 \sin( \frac{t}{9})- \frac{\cos 2t}{2}+C\;C \in \mathbb{R}$; Сделаем обратную замену:  $\int\ {\cos( \frac{x-6}{9})+\sin2(x-6) } \, dx=9 \sin( \frac{x-6}{9})- \frac{\cos2(x-6)}{2}+C,\;C \in \mathbb{R}$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла сделаем следующую замену:

Пусть $u = x - 6$, тогда $du = dx$.

Теперь мы можем переписать интеграл следующим образом:

$$\int \frac{\cos(u)}{9 + \sin^2(u)} du$$

Заметим, что в знаменателе у нас находится выражение $9 + \sin^2(u)$, которое можно переписать, используя тригонометрическую идентичность: $\sin^2(u) = 1 - \cos^2(u)$. Теперь мы можем заменить $1 - \cos^2(u)$ в знаменателе:

$$\int \frac{\cos(u)}{9 + 1 - \cos^2(u)} du$$

$$\int \frac{\cos(u)}{10 - \cos^2(u)} du$$

Теперь проведем дополнительную замену, чтобы избавиться от знаменателя:

Пусть $v = \cos(u)$, тогда $dv = -\sin(u) du$.

Мы видим, что $-\sin(u) du$ содержится в числителе, и мы также можем выразить $\cos^2(u)$ через $v$:

$$\cos^2(u) = v^2$$

Теперь мы можем переписать интеграл с использованием новой замены:

$$-\int \frac{1}{10 - v^2} dv$$

Этот интеграл можно вычислить с помощью метода частных дробей. Разложим знаменатель на простые дроби:

$$\frac{1}{10 - v^2} = \frac{A}{\sqrt{10} + v} + \frac{B}{\sqrt{10} - v}$$

Умножим обе стороны на знаменатель и решим для $A$ и $B$:

$$1 = A(\sqrt{10} - v) + B(\sqrt{10} + v)$$

Теперь подставим $v = \sqrt{10}$, чтобы найти значение $A$:

$$1 = A(\sqrt{10} - \sqrt{10}) + B(\sqrt{10} + \sqrt{10})$$

$$1 = 0 + 2B\sqrt{10}$$

$$B = \frac{1}{2\sqrt{10}}$$

Теперь подставим $v = -\sqrt{10}$, чтобы найти значение $A$:

$$1 = A(\sqrt{10} + \sqrt{10}) + B(\sqrt{10} - \sqrt{10})$$

$$1 = 2A\sqrt{10} + 0$$

$$A = \frac{1}{2\sqrt{10}}$$